Уравнение Шрёдингера и волновая функция

[TelmanStud]

Доброго времени суток Всем!
Ув. форумчане у меня след вопрос. Если физический смысл имеет только квадрат модуля волновой функции $A(x,t)=\left|\psi(x,t)\right|^2,\,\,A\in R$, то почему бы не рассматривать уравнение $L[A]=0$ именно для этой величины, которое можно вывести из уравнения Шрёдингера
$i\partial_t \psi=-\partial_{xx}\psi+V\psi$
представив $\psi(x,t)=A(x,t)e^{\varphi(x,t)}$.

[arseniiv]

И как вы предлагаете избавиться от фазы?

Вообще так физический смысл имеет не только $\psi^*\psi$. Хотя к самой фазе мы можем добавлять константы, и ничего не поменяется, то если мы попробуем сложить $\varphi(x,t)$ с неконстантной функцией, мы получим волновую функцию, описывающую уже другую систему, потому что кое-где поменяются разности фаз, что понятно как влияет. Подобное вы могли встречать со всевозможными потенциалами, добавление к которым константы тоже ничего не меняет.

[Cos(x-pi/2)]

Да, физический смысл имеет не только $\left|\psi(x,t)\right|^2.$ Например, иногда интерес представляют квадраты модулей коэффициентов разложения волновой функции по собственным функциям операторов импульса, момента импульса, энергии (гамильтониана). Для расчёта вероятностей переходов нужны также матричные элементы оператора энергии взаимодействия, и они вычисляются по волновым функциям начального и конечного состояний, а не только через их модули; при этом фазовые множители волновых функций могут вести к важным "правилам отбора" (простой пример: дифракция электронов на периодическом потенциале).

[TelmanStud]

arseniiv в сообщении #1050294 писал(а):

И как вы предлагаете избавиться от фазы? .

А просто тупо подставить в уравнение Шрёдингера, вроде разбивается на два, относительно фазы уравнение интегрируется и в итоге, что то вроде полилинейного учп получается (относительно $A(x,t)$)

-- 04.09.2015, 00:03 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #1050300 писал(а):

Да, физический смысл имеет не только $\left|\psi(x,t)\right|^2.$ Например, иногда интерес представляют квадраты модулей коэффициентов разложения волновой функции по собственным функциям операторов импульса, момента импульса, энергии (гамильтониана). Для расчёта вероятностей переходов нужны также матричные элементы оператора энергии взаимодействия, и они вычисляются по волновым функциям начального и конечного состояний, а не только через их модули; при этом фазовые множители волновых функций могут вести к важным "правилам отбора" (простой пример: дифракция электронов на периодическом потенциале).

Правильно ли будет утверждать, что "состояние" определяется модулем, а динамика "фазой"?

[g______d]

TelmanStud в сообщении #1050289 писал(а):

физический смысл имеет только квадрат модуля волновой функции $A(x,t)=\left|\psi(x,t)\right|^2,\,\,A\in R$

Как было сказано выше, это некорректная фраза, обозначающая "результат измерения положения частицы зависит только от квадрата модуля волновой функции". Как только мы вспомним, что у частицы есть еще какие-то измеряемые характеристики, кроме положения (например, импульс, энергия, спин, ... ), фраза сразу станет просто неверной.

[TelmanStud]

g______d в сообщении #1050304 писал(а):

Как было сказано выше, это некорректная фраза, обозначающая "результат измерения положения частицы зависит только от квадрата модуля волновой функции". Как только мы вспомним, что у частицы есть еще какие-то измеряемые характеристики, кроме положения (например, импульс, энергия, спин, ... ), фраза сразу станет просто неверной.

Ок, спасиб!

[Cos(x-pi/2)]

TelmanStud в сообщении #1050301 писал(а):

Правильно ли будет утверждать, что "состояние" определяется модулем, а динамика "фазой"?

Так не думаю. Вообще я не склонен к такого рода словесным обобщениям, ибо без конкретных примеров трудно понять, что называть "состоянием" и что "динамикой".

Для ответа на свой вопрос попробуйте осмыслить простой пример: рассмотрим две волновые функции свободного движения частицы - плоские волны с не равными друг другу импульсами $p_1$ и $p_2:$

$\psi_1(x)=e^{ip_1x/\hbar}$ ,

$\psi_2(x)=e^{ip_2x/\hbar}$ .

Эти волновые функции отличаются только фазой, и в то же время они описывают два разных состояния электрона. Для физики эта разница фаз важна; например, согласно принципу Паули, два электрона с одинаковой z-проекцией спина не смогут находиться в состоянии $\psi_1$ и не смогут находиться в состоянии $\psi_2,$ но смогут по одному занять состояния $\psi_1$ и $\psi_2.$

Уже из этого примера видно, что вряд ли так просто удастся избавить квантовую теорию от фазовых множителей...

[Munin]

TelmanStud в сообщении #1050301 писал(а):

А просто тупо подставить в уравнение Шрёдингера, вроде разбивается на два, относительно фазы уравнение интегрируется и в итоге, что то вроде полилинейного учп получается (относительно $A(x,t)$)

Не срабатывает. Получаются два уравнения, которые не интегрируются по отдельности.

-- 04.09.2015 00:51:10 --

Проделано это в ЛЛ-3 § 17 (перед формулой (17.10), напомню, что в неквазиклассическом случае пренебрегать $\hbar^2$ и выше нельзя).

[TelmanStud]

Munin
Ну вот напишу в $ (1+1)D$ второе уравнение из этого параграфа (и опять таки без коэффициентов)
$\partial_t A+A\partial_{xx}\varphi+2\partial_x A \partial_x \varphi$=0
Принимая $\phi=\partial_x \varphi$
можно переписать в виде
$\partial_x \phi+\frac{2\partial_x A}{A}\phi+\frac{\partial_t A}{A}=0$
Решая его как л.д.у. с переменными коэффициентами

$$\phi=-\frac{2}{A^2}\int_{-\infty}^x A(\xi,t)\partial_t A(\xi,t)d\xi$$

В первом уравнении из этого параграфа также можно перейти от $\varphi$ к $\phi$.
В нем дифференцируя необходимое количество раз можно перейти к уравнению, в котором фигурирует только $A(x,t)$ и его производные

[Munin]

TelmanStud в сообщении #1050374 писал(а):

В первом уравнении из этого параграфа также можно перейти от $\varphi$ к $\phi$.

Продемонстрируйте. Потому что оно выглядит (в ваших обозначениях) как $\partial_t\varphi+(\partial_x\varphi)^2+U-\tfrac{\partial_{xx}A}{A}=0.$

[TelmanStud]

Munin в сообщении #1050384 писал(а):

Продемонстрируйте. Потому что оно выглядит (в ваших обозначениях) как $\partial_t\varphi+(\partial_x\varphi)^2+U-\tfrac{\partial_{xx}A}{A}=0.$

Дифференцируем по $x$

$$\partial_t\phi+2\phi\partial_x \phi+\partial_x (U-\tfrac{\partial_{xx}A}{A})=0.$$

[Munin]

Что дальше?

[TelmanStud]

Munin в сообщении #1050396 писал(а):

Что дальше?

Выражения $\partial_x \phi, \partial_t \phi,$ выражаем через интеграл и получаем уравнение относительно $A$

[Munin]

Мне было бы забавно посмотреть, как вы выпишете конечный результат. И как его потом предполагаете интегрировать.

Формально вы правы, но заменить ДУЧП на интегро-дифференциальное... я бы не сказал, что это мыло лучше. И ради чего? Чтобы избавиться от фазы?

[TelmanStud]

Munin в сообщении #1050402 писал(а):

Мне было бы забавно посмотреть, как вы выпишете конечный результат. И как его потом предполагаете интегрировать.

Формально вы правы, но заменить ДУЧП на интегро-дифференциальное... я бы не сказал, что это мыло лучше. И ради чего? Чтобы избавиться от фазы?

От интегралов можно избавится последовательными дифференцированиями.
И как интересно осмыслить связь фазы с амплитудой

$$\phi=-\frac{2}{A^2}\int_{-\infty}^x A(\xi,t)\partial_t A(\xi,t)d\xi$$