мера компакта в метрическом пространстве

[Elena2012]

помогите чайнику понять кое что. вот есть произвольное компактное множество в метрическом пространстве. всегда ли его мера конечна? и если да, то собственно говоря, почему? и еще такое, непрерывный образ компакта - компакт. тогда из того, что мера в праобразе конечна, следует ли то, что мера конечна и в образе? заранее спасибо!

[Slav-27]

Рекомендую воспользоваться определением компактного множества.

[Elena2012]

Slav-27 в сообщении #1050125 писал(а):

Рекомендую воспользоваться определением компактного множества.

об ограниченности и замкнутости или о конечном покрытии?

[kp9r4d]

Возьмите меру "количество точек в множестве".

[Slav-27]

А какой вы мерой-то меряете? И какое именно у вас метрическое пространство?

Если какое угодно, то замкнутое ограниченное его подмножество не обязательно будет компактно.

[ewert]

Elena2012 в сообщении #1050121 писал(а):

произвольное компактное множество в метрическом пространстве. всегда ли его мера конечна?

Мера никак не связана с компактностью. Ни в какую сторону.

-- Чт сен 03, 2015 15:28:47 --

Slav-27 в сообщении #1050141 писал(а):

Если какое угодно, то замкнутое ограниченное его подмножество

Если какое угодно, то замкнутость и ограниченность тоже не очень-то при чём.

[Slav-27]

kp9r4d в сообщении #1050135 писал(а):

Возьмите меру "количество точек в множестве".

Я всё-таки подозреваю, что имеется в виду какая-то определённая мера. Если нет, Elena2012, то этого, действительно, достаточно.

[Elena2012]

kp9r4d в сообщении #1050135 писал(а):

Возьмите меру "количество точек в множестве".

ой, да, конечно. имеется ввиду мера хаусдорфа.

[Slav-27]

ewert в сообщении #1050142 писал(а):

Если какое угодно, то замкнутость и ограниченность тоже не очень-то при чём.

Почему? Замкнутое - дополнение к которому открыто. Ограниченное - которое вмещается в шар конечного радиуса. Где проблема?

[Elena2012]

ой, да, конечно. имеется ввиду мера хаусдорфа.[/quote]

[Legioner93]

Slav-27
Определение компакта посмотрите.

А после докажите, что единичная сфера в любом бесконечномерном линейном нормированном пространстве некомпактна.

Хотя она очевидно ограничена и бывает замкнута.

[Slav-27]

Elena2012 в сообщении #1050144 писал(а):

ой, да, конечно. имеется ввиду мера хаусдорфа.

А я было думал, что Лебега и в $\mathbb{R}^n$...

(Оффтоп)

Legioner93 в сообщении #1050154 писал(а):

А после докажите, что единичная сфера в любом бесконечномерном линейном нормированном пространстве некомпактна.

Хотя она очевидно ограничена и бывает замкнута.

Дык я про такие случаи и писал:

Slav-27 в сообщении #1050141 писал(а):

...замкнутое ограниченное его [метрического пространства] подмножество не обязательно будет компактно.

[Elena2012]

хорошо, из определения компакта ничего не получается. а если исходить из того, что компакт-это борелевское множество, а оно в свою очередь измеримо относительно любой хаусдорфовой меры. но опять же эта мера может быть и бесконечной...может быть есть идеи как показать конечность этой меры хотя бы почти всюду. или направление мысли...

[Oleg Zubelevich]

Elena2012 в сообщении #1050121 писал(а):

помогите чайнику понять кое что. вот есть произвольное компактное множество в метрическом пространстве. всегда ли его мера конечна? и если да, то собственно говоря, почему? и еще такое, непрерывный образ компакта - компакт. тогда из того, что мера в праобразе конечна, следует ли то, что мера конечна и в образе? заранее спасибо!

Лоран Шварц Анализ.

[Elena2012]

нет идей больше, "о великие гуру математики"?