Уравнение Эйлера

[rightways]

Решить в натуральных числах $x,y,z,t$ уравнение

$$4xyz-x-y=t^2$$

[rightways]

или доказать, что нет решении

[nnosipov]

Эквивалентная формулировка: при каких натуральных $x$, $y$ и $a$ дробь

$$ \frac{4ax^2+1}{4ay-1} $$

будет целым числом? Уже частные случаи этого вопроса --- вполне содержательные задачи. Например: $a=1$ (теорема Эйлера), случай $a=y$ связан с вычислением символов Лежандра $(\pm 2/p)$, а при $a=x$ имеем что-то типа 4-й задачи с 35 IMO.

[nnosipov]

rightways, эту задачу Вы сами придумали? Симпатичное обобщение классической теоремы.

[rightways]

нет, не я придумал, я ее нашел из mathlinks

[nnosipov]

Недаром у меня было ощущение deja vu.

[rightways]

@nnosipov
можете опубликовать полное решение этой задачи?

[nnosipov]

Пожалуйста.

Задача сводится к доказательству того, что дробь (в Ваших обозначениях)

$$ \frac{t^2+x}{4xz-1} $$

не может быть целым числом. Для этого достаточно доказать, что символ Якоби

$$ \left(\frac{-x}{4xz-1}\right)=-1 $$

(это гарантирует неразрешимость сравнения $t^2 \equiv -x \pmod{4xz-1}$). Действительно, пусть $x=2^kx_1$, где $x_1$ нечётно. Тогда

$$ \left(\frac{-x}{4xz-1}\right)=\left(\frac{-1}{2^{k+2}x_1z-1}\right) \left(\frac{2}{2^{k+2}x_1z-1}\right)^k\left(\frac{x_1}{2^{k+2}x_1z-1}\right)=(-1) \cdot 1 \cdot \left(\frac{-1}{x_1}\right) \cdot (-1)^S=-1, $$

поскольку

$$ \left(\frac{-1}{x_1}\right)=(-1)^{(x_1-1)/2}, \quad S=\frac{x_1-1}{2} \cdot (2^{k+1}x_1z-1). $$