Верно ли обратное

[beardy]

Есть теорема в которой говорится, что если ряд сходится, то его общий член $u_{ n }$ стремится к нулю, т. е. $\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { u }_{ n }=0 }$.
Я так понимаю нельзя говорить, что если $\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { u }_{ n }=0 }$, то ряд сходится.
Но как доказать, что обратное неверно?
В голову приходит только доказательство с использованием импликации.

[NSKuber]

Достаточно привести контрпример. Про гармонический ряд слышали?

[beardy]

NSKuber
Слышал, но допустим у нас не получается найти контраргумент.

[Sonic86]

beardy в сообщении #1049944 писал(а):

NSKuber
Слышал, но допустим у нас не получается найти контраргумент.

Что это значит - "не получается"?
Возьмите гармонический ряд.
Проверьте.
Контраргумент готов.
Что тут конкретно у вас не получается?

[beardy]

Sonic86
Я не говорил, что не получается. Я сказал ДОПУСТИМ, что не получается.

[Brukvalub]

beardy в сообщении #1049949 писал(а):

Sonic86
Я не говорил, что не получается. Я сказал ДОПУСТИМ, что не получается.

Так вы сказали удивительную ГЛУПОСТЬ!

[Someone]

beardy в сообщении #1049938 писал(а):

Но как доказать, что обратное неверно?
В голову приходит только доказательство с использованием импликации.

Не получится. Потому что обратное утверждение иногда верно, иногда нет, а Вы хотите универсальное доказательство. Поэтому с каждым случаем надо разбираться отдельно. Схема такая. Дано, что $A\Rightarrow B$. Нужно доказать, что $\neg(B\Rightarrow A)$. Проблема в том, что иногда $\neg(B\Rightarrow A)$, а иногда $B\Rightarrow A$. Но если Вы найдёте такое $C$, что $C\Rightarrow(B\wedge\neg A)$, это и будет означать, что $\neg(B\Rightarrow A)$. Контрпример как раз и помогает получить это самое $C$.

beardy в сообщении #1049944 писал(а):

допустим у нас не получается найти контраргумент.

А это как раз повод хорошенько задуматься: может быть, всё-таки $B\Rightarrow A$?

[Anton_Peplov]

beardy в сообщении #1049949 писал(а):

Я не говорил, что не получается. Я сказал ДОПУСТИМ, что не получается.

Высказывания, как известно, делятся на общеутвердительные ("всякое $A$ есть $B$"), частноутвердительные ("существует $A$, которое $B$"), общеотрицательные ("никакое $A$ не есть $B$") и частноотрицательные ("существует $A$, которое не $B$"). Классический способ опровергнуть общеутвердительное высказывание - построить нужное частноотрицательное, оно же контрпример. Вот у нас $A$ - "ряд со стремящимся к нулю общим членом", $B$ - "сходящийся ряд". Гармонический ряд демонстрирует, что существует $A$, которое не $B$, и тем самым опровергает, что всякое $A$ есть $B$

Но если уж очень хочется коснуться левой ногой правого уха, можно попробовать доказать из посылки "всякое $A$ есть $B$" два противоречащих друг другу общеутвердительных высказывания. Например, взяв за посылку, что то всякий ряд, общий член коего стремится к нулю, сходится, доказать что всякая дифференцируемая функция непрерывна и одновременно, что всякая дифференцируемая функция имеет разрыв. Или еще какую-нибудь глупость в том же роде. Обычно этим никто не занимается, т.к. искать контрпримеры проще, чем выводить противоречащие друг другу общеутвердительные высказывания. Я даже не знаю, было ли в реальной истории математики что-нибудь опровергнуто именно так.

[Sonic86]

beardy в сообщении #1049949 писал(а):

Я не говорил, что не получается. Я сказал ДОПУСТИМ, что не получается.

Пример построен выше, следовательно получается. Если допустить, что не получается, то получаем, что получается и не получается. Противоречие. Значит предположение о том, что не получается, ложно, значит получается.

Поставьте вопрос осмысленно.

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1049967 писал(а):

Высказывания, как известно, делятся на общеутвердительные ("всякое $A$ есть $B$"), частноутвердительные ("существует $A$, которое $B$"), общеотрицательные ("никакое $A$ не есть $B$") и частноотрицательные ("существует $A$, которое не $B$"). Классический способ опровергнуть общеутвердительное высказывание - построить нужное частноотрицательное, оно же контрпример. Вот у нас $A$ - "ряд со стремящимся к нулю общим членом", $B$ - "сходящийся ряд". Гармонический ряд демонстрирует, что существует $A$, которое не $B$, и тем самым опровергает, что всякое $A$ есть $B$

А я думал, что аристотелевская логика устарела и можно просто юзать булеву логику

[arseniiv]

(Оффтоп)

Лучше использовать алгебру предикатов.

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #1049989 писал(а):

А я думал, что аристотелевская логика устарела и можно просто юзать булеву логику

Юзать можно все, что удобно юзать. В данном конкретном случае Мне было удобнее выразить свою мысль на аристотелевском языке.