типовая задача СТО

[Viktor92]

Пусть имеется неподвижная СК $K$ например связанная с каким-либо излучателем, пусть из него вылетают в противоположных направлениях две частицы со скоростью $v=0.6c$. Переходя в СК $K'$ какой-либо из частиц, используя формулы сложения скоростей находим относительную скорость частиц $v'=0.88c$, здесь всё понятно.Затем мне захотелось понять на какое расстояния $s$ удаляться частицы от точки излучения за некоторое время $t_0$ в неподвижной системе $K$.
Для начала предположим, что вылетела только одна частица в одном из направлений, тогда она пролетит $0.6ct_0$, а если они вылетели вместе в разных направления, то расстояние $s=2*0.6ct_0$, отсюда вообщем то можно понимать, что они двигались с относительной скоростью $1.2c$ и получается я неявно применил преобразования Галилея, что понятно неправильно, вот тут я не пойму где кроется ошибка в моих рассуждениях. Если использовать относительную скорость, то $s=0.88ct_0$, но отсюда получается из симметрии задачи, что если вылетела одна бы частица, то она прошла $0.44ct_0$.
И получается противоречие, что одна частица ведёт себя вполне согласно здравому смыслу (пролетает $0.6ct_0$), но как только их вылетает две, сразу появляются релятивистские эффекты Понимаю, что вопрос совсем детский, но разобраться никак не могу...

[Munin]

Надо нарисовать пространственно-временную диаграмму.

Тогда станет ясно, что в СК $K$ действительно есть две пространственно-временные точки, между которыми расстояние $s=2\cdot 0{,}6ct_0.$ Но в СК $K'$ эти пространственно-временные точки перестают относиться к одному моменту времени. Между ними оказывается расстояние $\Delta x'=s\ch\operatorname{arth}0{,}6=1{,}25s=2\cdot 0{,}75ct_0,$ но кроме того, одна из них "случается" на $\Delta t'=s\sh\operatorname{arth}0{,}6=0{,}75s=2\cdot 0{,}45ct_0$ раньше другой. Посчитать при помощи этих точек расстояние между частицами нельзя, поскольку в тот момент, когда "случится" первая точка, вторая частица ещё будет лететь, не достигнув нужного положения, а когда "случится" вторая точка, тогда первая частица уже улетит далеко вперёд по отношению к отмеченному месту.

[Viktor92]

Вот такая диаграмма правильная? И можете рассказать о применении гиперболических функций в СТО,т.е. чем их использование обосновано и где можно про это почитать, с виду они упрощают вычисления, в моих источниках про СТО ничего подобного не видел, только разве вывод преобразований Лоренца с помощью них, хотя он мне проще от этого не показался

[casualvisitor]

Viktor92, все дело в том, что Вы использовали слова "относительная скорость частиц" для обозначения двух разных величин. Вот здесь:

Viktor92 в сообщении #1049170 писал(а):

Переходя в СК $K'$ какой-либо из частиц, используя формулы сложения скоростей находим относительную скорость частиц $v'=0.88c$

И вот здесь:

Viktor92 в сообщении #1049170 писал(а):

они двигались с относительной скоростью $1.2c$

Употребляйте слова "относительная скорость частиц" только в значении "скорость одной частицы в СО, связанной с другой частицей", и никаких "противоречий" не будет.

[Munin]

Viktor92 в сообщении #1049195 писал(а):

Вот такая диаграмма правильная?

Да, замечательно!

Viktor92 в сообщении #1049195 писал(а):

И можете рассказать о применении гиперболических функций в СТО,т.е. чем их использование обосновано и где можно про это почитать, с виду они упрощают вычисления, в моих источниках про СТО ничего подобного не видел, только разве вывод преобразований Лоренца с помощью них, хотя он мне проще от этого не показался :-)

По сути, их использование может и не упрощать вычислений. Это дело привычки: если вы привыкли к каким-то вещам, то с ними вам удобно работать, и переводить на этот язык другие вещи. А если нет - то неудобно.

Почитать можно, например, в ЛЛ-2, хотя там и небольшое упоминание. И в Википедии.

СТО основана на псевдоевклидовой геометрии - геометрии Минковского. В ней вращения в плоскостях, проходящих через ось времени ($t$), осуществляются с помощью гиперболических поворотов - аналогов обычных поворотов, но с заменой тригонометрических функций на гиперболические. Эти повороты называются преобразованиями Лоренца. Например, в матричном виде (слева обычный поворот плоскости, справа гиперболический):

$$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\ch\theta&-\sh\theta\\-\sh\theta&\ch\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}.$$

Здесь $\theta$ - просто некий параметр (называемый углом или гиперболическим углом = быстротой), но если назвать "скоростью" $v$ величину углового коэффициента, на который отклоняется ось $y$ или $t,$ то есть, $\tg\theta$ или $\th\theta,$ то формулы приобретут вид:

$$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\dfrac{1}{\sqrt{1+v^2}}\begin{pmatrix}1&-v\\v&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2}}\begin{pmatrix}1&-v\\-v&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix},$$

который (справа) вам уже, наверное, более знаком. Так что, гиперболические функции оказываются всего лишь синонимами для других хорошо известных обозначений: $\th\theta=v,\quad\ch\theta=\gamma\equiv\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2}},\quad\sh\theta=v\gamma$ - и использовать одни или другие, зависит от желания человека вспоминать тригонометрические формулы с геометрической интуицией, или считать алгебраические выражения.

За геометрическую интуицию здесь стоит то, что подобные же формулы действуют не только для координат на плоскости, но и для промежутков между двумя точками, и для других физических величин, являющихся 4-векторами: например, для скорости, для энергии-импульса, для силы, для плотности тока, и так далее. С другой стороны, геометрическая запись формул не всегда удобна. Удобнее всего - уметь быстро и легко переходить от одной к другой, и использовать ту запись, которая больше подходит в данный момент.

[iifat]

Viktor92 в сообщении #1049170 писал(а):

отсюда вообщем то можно понимать, что они двигались с относительной скоростью $1.2c$

На всякий случай: в СО $K$ частицы действительно разлетаются с относительной скоростью $1,2c$, что никак не противоречит СТО. Поскольку это не скорость передачи массы или информации, а просто скорость увеличения расстояния между двумя движущимися объектами.

[Munin]

iifat в сообщении #1049215 писал(а):

На всякий случай: в СО $K$ частицы действительно разлетаются с относительной скоростью $1,2c$, что никак не противоречит СТО.

На всякий случай: это не называется относительной скоростью. Чтобы не вызывать путаницы. Как и сказал выше casualvisitor, термин относительная скорость используется только в одном смысле:
- скорость какой-то точки относительно какой-то системы координат; частным подслучаем этого случая является
- скорость какой-то точки относительно системы координат, связанной с другой точкой (инерциальной).
Именно второй случай иногда жаргонно называют "скоростью точки относительно другой точки".

В теории относительности Галилея, можно было складывать между собой (векторно) скорости двух точек в третьей СК, не привязанной ни к одной из них. И при этом получалась осмысленная физическая величина, совпадающая со скоростью одной точки в СК, привязанной к другой точке.

Но в теории относительности Лоренца, это уже разные вещи. Скорости складываются не векторно, а по более сложным правилам (к тому же, неперестановочным). При сложении скоростей, одно из слагаемых (относительная скорость двух СК) должно отображать постоянную, а не переменную скорость (то есть, скорость инерциально движущейся точки). А простая векторная сумма скоростей в третьей СК не имеет физического смысла.

[EEater]

Munin в сообщении #1049233 писал(а):

А простая векторная сумма скоростей в третьей СК не имеет физического смысла.

Тем не менее, поскольку данная величина нередко фигурирует, rustot предложил называть ее взаимной скоростью - по-моему, это приемлемо.

[zer0]

Можно назвать скоростью сближения/разлета.

[Viktor92]

Munin в сообщении #1049213 писал(а):

СТО основана на псевдоевклидовой геометрии - геометрии Минковского. В ней вращения в плоскостях, проходящих через ось времени ($t$), осуществляются с помощью гиперболических поворотов - аналогов обычных поворотов, но с заменой тригонометрических функций на гиперболические.

Спасибо за ответ, я так понимаю в плоскостях лежащих на координатных осях, а не временной, повороты осуществляются обычными тригонометрическими функциями? А гиперболический поворот это чисто удобная математическая абстракция, где выбором параметра $\theta$ мы определяем скорость $v$ некоторой инерциальной системы отсчёта и эти повороты наглядно не представить?

iifat в сообщении #1049215 писал(а):

На всякий случай: в СО $K$ частицы действительно разлетаются с относительной скоростью $1,2c$, что никак не противоречит СТО. Поскольку это не скорость передачи массы или информации, а просто скорость увеличения расстояния между двумя движущимися объектами.

Вот насчёт передачи информации, есть такой пример, что солнечный зайчик при достаточной угловой скорости зеркала, будет передвигаться по стенке с сверхсветовой скоростью, установим например фотодиоды в двух точках на расстоянии $s$, будем считать что они реагируют мгновенно, тогда получается , что мы можем передать информацию быстрее скорости света, например о том что на расстоянии $s$ солнечный зайчик прошёл диод $1$, хотя в фотодиоды придут разные фотоны и не один материальный объект не перемещался с сверхсветовой скоростью, но информация передана.

[zer0]

Это не передача информации, а типа синхронизация. Информация передается от $A$ в $B$ о каком-то событии (произошло/не произошло). Если из $C$ пошли сигналы в $A$ и $B$ и пришли туда одновременно, то это вовсе не значит, что информация мгновенно передана из $A$ в $B$. Например, по приходу сигнала в $A$ взрывается бомба, а по приходу сигнала в $B$ зажигается табло "в $A$ взорвалась бомба". Проблема в том, что если в $A$ бомба неисправна и не взорвалась, в $B$ табло все равно включится и поэтому передачи информации нет.

[iifat]

Viktor92 в сообщении #1049250 писал(а):

солнечный зайчик при достаточной угловой скорости зеркала

... не передаёт ни массы, ни информации из одной точки траектории в другую. Масса и информация передаются из источника света в точки траектории — со скоростью света и ни копейкой быстрее.
Опередили, но стирать жалко

[Munin]

EEater в сообщении #1049244 писал(а):

Тем не менее, поскольку данная величина нередко фигурирует

Где?

Я давно применяю СТО, и как-то потребности не заметил.

Viktor92 в сообщении #1049250 писал(а):

Спасибо за ответ, я так понимаю в плоскостях лежащих на координатных осях, а не временной, повороты осуществляются обычными тригонометрическими функциями?

Да, верно.

Более сложная ситуация с поворотами, которые не происходит в плоскости, проходящей через две оси. Такие повороты тоже называются преобразованиями Лоренца в общем смысле.

Viktor92 в сообщении #1049250 писал(а):

А гиперболический поворот это чисто удобная математическая абстракция, где выбором параметра $\theta$ мы определяем скорость $v$ некоторой инерциальной системы отсчёта и эти повороты наглядно не представить?

Ну почему, можно и наглядно. Нарисуйте гиперболы, по которым "движутся" точки при возрастании параметра $\theta$ от нуля - и получится аналог обычного рисунка поворота, где точки движутся по дугам окружностей при возрастании угла. Получится рисунок, который поначалу непривычен, но потом к нему можно привыкнуть, и даже представлять себе для решения задач в уме.

Viktor92 в сообщении #1049250 писал(а):

Вот насчёт передачи информации, есть такой пример

Для вашего рисунка пространственно-временную диаграмму придётся рисовать трёхмерную.

[Someone]

Viktor92 в сообщении #1049250 писал(а):

Вот насчёт передачи информации, есть такой пример, что солнечный зайчик при достаточной угловой скорости зеркала, будет передвигаться по стенке с сверхсветовой скоростью, установим например фотодиоды в двух точках на расстоянии $s$, будем считать что они реагируют мгновенно, тогда получается , что мы можем передать информацию быстрее скорости света, например о том что на расстоянии $s$ солнечный зайчик прошёл диод $1$, хотя в фотодиоды придут разные фотоны и не один материальный объект не перемещался с сверхсветовой скоростью, но информация передана.

Вы так думаете? В точке $A$ на Земле закончился футбольный матч, и мы хотим этим способом передать информацию о счёте на Марс. Со сверхсветовой скоростью. Чтобы всех конкурентов от журналистики опередить. Ваши действия?

[Viktor92]

Munin в сообщении #1049256 писал(а):

Ну почему, можно и наглядно. Нарисуйте гиперболы, по которым "движутся" точки при возрастании параметра $\theta$ от нуля - и получится аналог обычного рисунка поворота, где точки движутся по дугам окружностей при возрастании угла.

Если так представить, то как раз получается, что при движении по гиперболам меняется как бы масштаб осей, они "растягиваются".

Someone в сообщении #1049259 писал(а):

Вы так думаете? В точке $A$ на Земле закончился футбольный матч, и мы хотим этим способом передать информацию о счёте на Марс. Со сверхсветовой скоростью. Чтобы всех конкурентов от журналистики опередить. Ваши действия?

Не знаю даже, в моём примере выше подразумевалось, что фотодиоды можно соединить в некоторую электрическую схему, т.е. они связаны и время отклика в схеме, меньше чем время прохождения света между фотодиодами, а тут Земля и Марс может обмениваться только электромагнитными волнами с конечной скоростью.

Munin в сообщении #1049256 писал(а):

Для вашего рисунка пространственно-временную диаграмму придётся рисовать трёхмерную.

А как тут нарисовать, процесс же динамический, получается поворот в плоскости $xy$ вокруг $t$ светового сигнала с угловой скорость вращения зеркальца, при этом события достижения светового луча стенки будут похожи на винтовую линию?