Закон Гука для не сильно малых деформаций.

[zels]

Известно, что сила $F$, действующая на стержень пропорциональна его растяжению/сжатию $X$: $F=-k\cdot X$ (закон Гука). Коэффициент $k$ находится через длину стержня $L$, сечение $S$ и модуль Юнга $E$: $k=\frac {E\cdot S}{L}$. Вопрос: какое $S$ должно стоять в формуле - до или после растяжения? При растяжении стержень сжимается в поперечном направлении и если растяжение 1%, то разница несущественна. И если это каучук или резина, которые растягиваются на десятки процентов? Если кто знает результаты измерений сила/растяжение) где это надо учитывать, киньте ссылочку, пожалуйста.

В некоторых источниках написано, что для металлов $S$ берется после растяжения, т.е. меньше. С другой стороны, количество атомов в сечении остается тем же.

Pphantom:

Не забывайте отдельные обозначения оформлять так же, как формулы. Выше исправлено.

[Pphantom]

Закон Гука работает в пределе бесконечно малых деформаций. Поскольку относительная поперечная деформация заведомо меньше относительной продольной (коэффициент Пуассона меньше единицы), то изменение поперечного сечения - бесконечно малая более высокого порядка малости, учет которой лишен смысла.

Если же Вы хотите учитывать изменение $S$, то тем самым Вы пытаетесь учитывать квадратичные эффекты, следовательно, автоматически лишаете себя возможности использовать закон Гука (который суть попросту линейное приближение).

[мат-ламер]

zels в сообщении #1049005 писал(а):

И если это каучук или резина, которые растягиваются на десятки процентов?

Pphantom в сообщении #1049012 писал(а):

Закон Гука работает в пределе бесконечно малых деформаций. Поскольку относительная поперечная деформация заведомо меньше относительной продольной (коэффициент Пуассона меньше единицы), то изменение поперечного сечения - бесконечно малая более высокого порядка малости, учет которой лишен смысла.

У меня очень личное ИМХО, что если резиновый шнур растянуть на 10%, то площадь сечения его уменьшится на примерно те же 10%. Опять же ИМХО, что вместо начальной и конечной площади сечения надо брать некоторое интегральное среднее (не среднее арифметическое, а вот какое - надо будет подумать). Естественно, закон Гука локален. И вместо него надо обращаться к некоторому интегральному эквиваленту его. Поэтому говорить о том, что надо брать некоторое интегральное среднее для сечения - это тоже не совсем верно, но при достаточно малых деформациях может и сойдёт.

-- Сб авг 29, 2015 14:49:26 --

мат-ламер в сообщении #1049020 писал(а):

У меня очень личное ИМХО, что если резиновый шнур растянуть на 10%, то площадь сечения его уменьшится на примерно те же 10%

Но это сугубо для резины. В статье про Коэффициент Пуассона говорится, что у абсолютно несжимаего тела сей коэффициент равен $0.5$ как и для резины. Т.е. резина - практически несжимаемое тело. Для стали ситуация другая.

[Munin]

Pphantom в сообщении #1049012 писал(а):

Закон Гука работает в пределе бесконечно малых деформаций. Поскольку относительная поперечная деформация заведомо меньше относительной продольной (коэффициент Пуассона меньше единицы), то изменение поперечного сечения - бесконечно малая более высокого порядка малости, учет которой лишен смысла.

Это что-то странное сказано. Относительная поперечная деформация может быть меньше относительной продольной, но того же порядка малости. Если $S=d^2,$ то $\delta S=2\,\delta d.$

[Pphantom]

мат-ламер в сообщении #1049020 писал(а):

У меня очень личное ИМХО, что если резиновый шнур растянуть на 10%, то площадь сечения его уменьшится на примерно те же 10%.

У резины коэффициент Пуассона $\sigma \approx 0.47$, так что это даже не ИМХО, а суровая правда жизни.

мат-ламер в сообщении #1049020 писал(а):

Опять же ИМХО, что вместо начальной и конечной площади сечения надо брать некоторое интегральное среднее (не среднее арифметическое, а вот какое - надо будет подумать).

А вот тут - нет. Вернее, в некоторых случаях таким образом можно будет получить близкий к правильному результат, но надо четко понимать, что это подгонка под ответ с непредсказуемой областью применимости.

мат-ламер в сообщении #1049020 писал(а):

Естественно, закон Гука локален. И вместо него надо обращаться к некоторому интегральномк эквиваленту его.

А это уже просто чушь.

Задача, "решением" которой в определенных условиях является закон Гука, выглядит так: есть однородное и изотропное твердое тело, к которому в определенном направлении прикладывается напряжение $p$, требуется найти относительное продольное растяжение $\delta$ (одинаковое для всех участков тела в силу однородности и изотропии).

Соответственно, в общем случае надо найти $\delta=\delta(p)$. Однако известно, что:
1) $\delta(0)=0$ - при отсутствии напряжения деформация отсутствует (если угодно, это можно считать следствием определения твердого тела);
2) функция $\delta(p)$ является "хорошей" (непрерывной, достаточно гладкой и т.п.).
Поэтому $\delta(p)$ просто раскладывается в ряд Маклорена, член при $p^0$ в силу п.1 равен нулю, и в силу п.2 существует некоторая окрестность $p=0$, в которой членами второго и более высоких порядков можно пренебречь. Все, осталось обозначить коэффициент в линейном члене как $1/E$.

Никаких более "физических" обоснований линейности закона Гука нет, это чистое линейное приближение. Поэтому:
A) оно всегда остается только приближением, хорошо работающим для малых $p$ и, соответственно, $\delta$;
B) там, где оно не работает, пытаться подкручивать коэффициенты, интегрировать и т.п. бесполезно - надо просто честно рассматривать члены более высоких порядков, они при определенных условиях могут оказаться больше линейного.

-- 29.08.2015, 14:10 --

Munin в сообщении #1049033 писал(а):

Это что-то странное сказано. Относительная поперечная деформация может быть меньше относительной продольной, но того же порядка малости. Если $S=d^2,$ то $\delta S=2\,\delta d.$

Да, это верно, тут я перестарался с упрощением. Выше подробнее описано, что имелось в виду.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1049033 писал(а):

Это что-то странное сказано. Относительная поперечная деформация может быть меньше относительной продольной, но того же порядка малости.

Правильнее будет сказать, что изменение поперечного сечения (линейное по $\delta$) приводит к квадратично малым в правой части закона Гука (который и сам по себе имеет квадратичную ошибку)

[Munin]

Тем не менее, для многих материалов закон Гука не просто линейное приближение. На графике "деформация (напряжение)" они имеют достаточно большой почти линейный участок около нуля, за которым наступает нелинейная деформация (часто необратимая: пластическая или хрупкая). Вторая производная в точке такого перехода гораздо больше, чем на большем протяжении "гуковского участка". Простое степенное разложение в нуле здесь не очень-то адекватно.

[Pphantom]

Munin в сообщении #1049054 писал(а):

Тем не менее, для многих материалов закон Гука не просто линейное приближение. На графике "деформация (напряжение)" они имеют достаточно большой почти линейный участок около нуля, за которым наступает нелинейная деформация (часто необратимая: пластическая или хрупкая). Вторая производная в точке такого перехода гораздо больше, чем на большем протяжении "гуковского участка". Простое степенное разложение в нуле здесь не очень-то адекватно.

В общем-то да, но, насколько я помню, никакой хорошей теории, объясняющей существование большого квазилинейного участка, нет. Т.е. сравнительно большая область применимости линейного приближения - скорее некий эмпирический факт.

[zels]

Если у резины большой линейный участок, то логичнее считать, что S надо брать исходную, иначе на 10% заметно отклонение.
У меня такое "наивное" объяснение. Есть квадратная решетка, узлы соединены пружинками. При растяжении квадрат деформируется в прямоугольник, но количество пружинок в поперечном сечении не уменьшается. Поэтому надо брать исходную S и линейная зависимость останется.
Вот график для $\nu =0.47$ и 100% растяжении (если брать уменьшающуюся S)


Резина сжимается (объемно) хуже воды раза в 1.5-2, но где-то в 700 раз лучше стали, так что говорить о практической несжимаемости...

[Pphantom]

zels - замечание за неправильное оформление обозначений.

[Oleg Zubelevich]

zels в сообщении #1049005 писал(а):

Закон Гука для не сильно малых деформаций

zels в сообщении #1049005 писал(а):

И если это каучук или резина, которые растягиваются на десятки процентов?

тензор деформаций зависсит от перемещений нелинейно, на самом деле есть несколько разных тензоров деформаций. Все эти тензоры деформаций дают одно и тоже лишь в линейном по перемещениям приближении. Так что говорить про закон Гука при больших перемещениях просто смысла нет.

zels в сообщении #1049005 писал(а):

Вопрос: какое $S$ должно стоять в формуле - до или после растяжения?

[zels]

Oleg Zubelevich в сообщении #1049203 писал(а):

Так что говорить про закон Гука при больших перемещениях просто смысла нет.

Смысла как бы нет, но для резины он реально работает при больших перемещениях. И получается, что для резины под $S$ надо понимать начальную недеформированную $Sn$. При этом связь тензора напряжений и тензора деформаций становится нелинейной (возникает множитель $\frac{St}{Sn}$). Неясно - это главная часть нелинейности или есть другие сопоставимые члены. А не для резины? Для каких материалов деформация может составить 5-10% и как реально выглядит график сила-растяжение? Может, там получается не начальная $Sn$, а текущая $St$ или какая-то промежуточная.

[Oleg Zubelevich]

zels в сообщении #1049247 писал(а):

Смысла как бы нет, но для резины он реально работает при больших перемещениях.

это из чего следует? ссылки дайте пожалуйста, где этот вопрос для резины исследован

[zels]

Израелит Г.Ш. Механические испытания резины и каучука 1949г, стр 31. Скачать можно по http://dfiles.ru/files/w8yxuywmf

[Oleg Zubelevich]

Спасибо, почитал. Но, ведь, они там и пишут, что закон Гука буквально для резины использовать нельзя и кучу оговорок формулируют. Как я и ожидал, резина -- среда существенноо нелиннейная. Так, что Вам надо искать какие-то современные тексты, в которых строятся нелинейные модели. Закон Гука в лоб применять при больших деформациях -- ни чего адекватного Вы не получите.