2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: удары, сильные разрывы, обобщенные решения
Сообщение25.08.2015, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
Red_Herring
Тут, боюсь, может быть путаница между двумя прочтениями термина "граничные условия":
- условия на границе раздела двух подобластей;
- условия на границе области решения.

Я понимаю, что обобщённые функции и производные могут давать первое, но не вижу, как они могут поставлять второе. Здесь, как я понимаю, работает оговаривание класса (пространства) функций, в котором ищется решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: удары, сильные разрывы, обобщенные решения
Сообщение25.08.2015, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9697
Hogtown
Munin в сообщении #1047770 писал(а):
Red_Herring
Тут, боюсь, может быть путаница между двумя прочтениями термина "граничные условия":
- условия на границе раздела двух подобластей;
- условия на границе области решения.

Я понимаю, что обобщённые функции и производные могут давать первое, но не вижу, как они могут поставлять второе. Здесь, как я понимаю, работает оговаривание класса (пространства) функций, в котором ищется решение.


Я имел в виду только границу раздела. Но на самом деле и с наружной границей можно поступить аналогично (и это небесполезное упражнение): рассмотрим $\Delta u= f$ в $\Omega$, $u|_{\partial \Omega}=g$. Продолжим $u$ нулем вне $\Omega$, пусть это будет $u^0$. Тогда
$$\Delta u^0=f+\phi \delta_{\partial \Omega} + \psi \partial_n \delta_{\partial \Omega}$$
где $$\phi=\partial_nu |_{\partial\Omega}, \psi= u |_{\partial\Omega}$$.
Ну и имеем уравнение от-но $u^0,\phi$
$$\Delta u^0=f+\phi \delta_{\partial \Omega} + g \partial_n \delta_{\partial \Omega}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: удары, сильные разрывы, обобщенные решения
Сообщение27.08.2015, 11:14 
Заслуженный участник


22/11/10
1151
Мне кажется, что здесь имеет место небольшое недоразумение.
С одной стороны, Утундрий безусловно прав в том, что интегральные уравнения (законы сохранения) первичны. А дифференциальные уравнения с "поточечными" производными не полностью описывают разрывные решения.
С другой стороны
Утундрий в сообщении #1047497 писал(а):
Ну, я просто (в свою очередь) не понимаю, как надо вывернуть себе мозги математикой, чтобы отрицать тот довольно очевидный факт, что интегральная форма несёт больше информации чем локальная.

Вот здесь надо сказать, что обобщенные производные это не совсем локальный объект. Точнее, они не сводятся к поточечным производным. Они и определяются не локально и содержат в себе всю информацию о разрывах. Ну в самом деле, производная от ступеньки это $\delta$-функция. А не тождественный 0. Поэтому в уравнениях Эйлера присутствуют самые настоящие распределения. И понимать их нужно в соответствующем смысле - с помощью пробных функций. Что Oleg Zubelevich и сделал. И выписал интегральные соотношения $(**)$, которые в точности эквивалентны интегральным законам сохранения. Именно поэтому высказывания Утундрий выглядят как "придирка". Но может уравнения Эйлера не адекватны данной задаче? Тогда да, проблемы. Но ведь они и есть интегральные законы сохранения, только в другом виде. Разве нет?
Можно, конечно, еще и задаться вопросом: а зачем надо было интегральные уравнения превращать в дифференциальные, чтобы потом вернуть их обратно и, в конечном итоге, написать баланс массы и импульса на границе раздела? Ну, как мне кажется, это вопрос риторический.

 Профиль  
                  
 
 Re: удары, сильные разрывы, обобщенные решения
Сообщение27.08.2015, 11:28 


10/02/11
6786
sup в сообщении #1048343 писал(а):
а зачем надо было интегральные уравнения превращать в дифференциальные

я как-бэ не превращал, я объяснил в каком смысле надо понимать дифференциальные уравнения что бы получить условия на разрыве

 Профиль  
                  
 
 Re: удары, сильные разрывы, обобщенные решения
Сообщение27.08.2015, 11:32 
Заслуженный участник


22/11/10
1151
Я, наверное, неаккуратно выразился. Прошу прощения.
Я просто имел в виду, что это личное дело каждого решающего. Кому как удобнее, то так и решает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group