Расщепление сепаратрис Интеграл Пуанкаре

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

$$\dot x=f(x)+\epsilon g(t,x)+\psi(t,x,\epsilon)\qquad (*)$$

в области $D\subset \mathbb{R}^2,\quad x=(x_1,x_2)\in D$. Функции в правой части считаются гладкими в $\mathbb{R}_t\times D\times(-\epsilon_0,\epsilon_0)$ и $2\pi$-периодическими по $t$. Здесь $\epsilon\in (-\epsilon_0,\epsilon_0)$ -- малый параметр, $|\psi(t,x,\epsilon)|\le c\epsilon^2.$

Предположим, что невозмущенная система ($\epsilon=0$) имеет гиперболическое положение равновесия в нуле: $f(0)=0$. Через $\lambda_+<0<\lambda_-$ обозначим собственные числа матрицы $f'(0)$. Кроме того, предположим, что невозмущенная система имеет двоякоасимптотическое решение $x_0(t),\quad x_0(t)\to 0$ при $t\to\pm\infty$. На фазовом портрете это петля сепаратрисы, начинающаяся и заканчивающаяся в положении равновесия $0$. В этом случае невозмущенная система имеет континум двоякоасимптотических решений

$$\{x_0(t+t_0)\mid t_0\in\mathbb{R}\}.\qquad(**)$$

При малом возмущении системы ($\epsilon\ne 0$ -- мало) положение равновесия перейдет в гиперболическое периодическое решение $p_\epsilon(t),\quad p_\epsilon(t+2\pi)=p_\epsilon(t),\quad p_\epsilon(t)\to 0$ при $\epsilon\to 0$. В расширенном фазовом пространстве $S^1\times D$ к решению $p_\epsilon$ примыкают два гладких двумерных многообразия -- устойчивое и неустойчивое. Устойчивое многообразие состоит из решений вида $x(t)\to p_\epsilon(t),\quad t\to\infty$, а неустойчивое из решений вида $x(t)\to p_\epsilon(t),\quad t\to-\infty$.
При $\epsilon=0$ устойчивое многообразие совпадает с неустойчивым и оба они состоятт из решений (**) Наша задача будет состоять в том что бы выяснить достаточные условия, при которых устойчивое и неустойчивое многообразия пересекаются при малых $\epsilon\ne 0$. Т.е. условия при которых в возмущенной системе сохранятся двоякоасимптотические решения.

Введем обознпачения. $a\wedge b=a_1b_2-a_2b_1,\quad a=(a_1,a_2),\quad b=(b_1,b_2);\quad A(t,t_0)=f'(x_0(t+t_0))$

$$P(t_0)=\int_{-\infty}^{\infty}\exp\Big(\int_\xi^0\mathrm{tr}\, A(s,t_0)ds\Big) f\big(x_0(\xi+t_0)\big)\wedge g\big(\xi,x_0(\xi+t_0)\big)d\xi\qquad(***)$$

Теорема. Если при некотором $t_0$ выполнены условия $P(t_0)=0$ и $P'(t_0)\ne 0$. То при малых $\epsilon$ система (*) имеет двояко асимптотическое решение $x_\epsilon(t)$, которое при $\epsilon\to 0$ переходит в решение $x_0(t+t_0)$.

Замечание. В случае гамильтоновых систем $\mathrm{tr}\, A(s,t_0)\equiv 0$ формулы значительно упрощаются.

[Oleg Zubelevich]

Доказательство.

Разложим в ряд по степеням малого параметра асимтотические решения

$$x^{su}(t,t_0,\epsilon)=x_0(t+t_0)+\epsilon x_1^{su}(t,t_0)+O(\epsilon^2),$$

$x^u(t,t_0,\epsilon)\to p_\epsilon(t),\quad t\to-\infty$ и $x^s(t,t_0,\epsilon)\to p_\epsilon(t),\quad t\to\infty$. Индексы $u,s$ означают unstable, stable.
Подсталяя формулу для $x^{su}$ в уравнение (*) находим

$$\dot x_1^{su}(t,t_0)=A(t,t_0)x_1^{su}(t,t_0)+g(t,x_0(t+t_0)).\qquad(!)$$

Точкой обозначается производная по $t$.
В области $D$ через точку $x_0(t_0)$ проведем одномерную площадку $\Pi$ трансверсально вектору $f(x_0(t_0))$. По теореме о неявной функции найдутся такие значения $t^{su}(\epsilon)=t_0+\epsilon t_1^{su}+O(\epsilon^2)$, что $x^{su}(0,t^{su},\epsilon)\in \Pi$.
Измерять расщепление сепаратрис будем с помощью функции

$$\Delta (t_0,\epsilon)=\frac{1}{\epsilon}f(x_0(t_0))\wedge\big(x^s(0,t^{s},\epsilon)-x^u(0,t^{u},\epsilon)\big).$$

При малых $\epsilon\ne 0$ верно следующее: $\Delta (t_0,\epsilon)=0\Longleftrightarrow x^s(0,t^{s},\epsilon)=x^u(0,t^{u},\epsilon)$.
Дальше мы применяем теорему о неявной функции к уравнению $\Delta(t_0,\epsilon)=0\Longrightarrow t_0=t_0(\epsilon)$. Что и дает искомое двоякоасимптотическое решение.

Оставшаяся часть текста посвящена выводу формулы

$$\Delta(t_0,\epsilon)=P(t_0)+O(\epsilon).\qquad (!!)$$

Поскольку

$$x^{su}(0,t^{su},\epsilon)=x_0(t_0)+\epsilon f(x_0(t_0))t_1^{su}+\epsilon x_1^{su}(0,t_0)+O(\epsilon^2)$$

имеем

$$\Delta (t_0,\epsilon)=f(x_0(t_0))\wedge\big(x_1^s(0,t_0)-x_1^u(0,t_0)\big)+O(\epsilon).$$

Введем вспомогательные функции

$$\delta^{su}(t,t_0)=f(x_0(t+t_0))\wedge x_1^{su}(t,t_0),\quad \Delta (t_0,\epsilon)=\delta^{s}(0,t_0)-\delta^{u}(0,t_0)+O(\epsilon).\qquad (!!!)$$

Заметим, что $\delta^{s}(t,t_0)\to 0,\quad t\to\infty$ и $\delta^{u}(t,t_0)\to 0,\quad t\to-\infty$ ибо $f(x_0(t+t_0))\to 0,\quad t\to\pm\infty$.
Дальше нам понадобится следующая тривиальная
Лемма. Пусть $A:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ -- линейный оператор. Верна формула

$$(Ax)\wedge y+x\wedge(Ay)=(\mathrm{tr}\,A)x\wedge y.$$

Используя эту формулу и формулу (!) находим

$$\dot \delta^{su}=\mathrm{tr}\, A(t,t_0)\delta^{su}+f(x_0(t+t_0))\wedge g(t,x_0(t+t_0)).$$

Откуда

$$ \delta^{su}(t,t_0)=e^{\int_\tau^t\mathrm{tr}\, A(s,t_0)ds} \delta^{su}(\tau,t_0)+\int_\tau^te^{\int_\xi^t\mathrm{tr}\, A(s,t_0)ds}f(x_0(\xi+t_0))\wedge g(\xi,x_0(\xi+t_0))d\xi.$$

Мы собираемся переходить к пределам в этом интеграле при $\tau\to\pm\infty.$ Для этого отметим следующие формулы

$$|x_0(t)|=O(e^{\lambda_\pm t}),\quad t\to\pm\infty;\quad \mathrm{tr}\, A(t,t_0)=(\lambda_++\lambda_-)(1+o(1)).$$

И так

$$\delta^{s}(t,t_0)=\int_{\infty}^te^{\int_\xi^t\mathrm{tr}\, A(s,t_0)ds}f(x_0(\xi+t_0))\wedge g(\xi,x_0(\xi+t_0))d\xi;$$

$$\delta^{u}(t,t_0)=\int_{-\infty}^te^{\int_\xi^t\mathrm{tr}\, A(s,t_0)ds}f(x_0(\xi+t_0))\wedge g(\xi,x_0(\xi+t_0))d\xi$$

Подставляя это в (!!!) получаем (!!).
Теорема (по модулю технических подробностей) доказана.

[dsge]

Мельников (1961)

[Oleg Zubelevich]

Пуанкаре (1892)

[Oleg Zubelevich]

написано

Oleg Zubelevich в сообщении #1048350 писал(а):

$$x_0(t)=e^{\lambda_\pm t}(1+o(1))$$

должно быть $|x_0(t)|=O(e^{\lambda_\pm t})$

[Deggial]

Oleg Zubelevich в сообщении #1048398 писал(а):

написано

Oleg Zubelevich в сообщении #1048350 писал(а):

$$x_0(t)=e^{\lambda_\pm t}(1+o(1))$$

должно быть $|x_0(t)|=O(e^{\lambda_\pm t})$

Поправил, проверьте.
Если хотите вносить исправления в текст, то пользуйтесь механизмом жалоб.

[Oleg Zubelevich]

thanx