Существование сложения натуральных чисел

[ellipse]

В книге Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я. (ред.) Энциклопедия элементарной математики. Книга 1. Арифметика. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951 приводятся рассуждения о доказательстве существования сложения натуральных чисел:




Теорема 1 из параграфа 11, на которую ссылаются:


Разобрался с приведенным там доказательством индукцией по $a$, но все-таки хочется понять, можно ли доказать индукцией по $b$.

Приведу свои рассуждения.

Пусть $M=\{b\in \mathbb{N} : \forall a\in \mathbb{N}\ \ \overbrace{a+1=a'}^{1},\ \overbrace{\exists a+b}^{2},\ \overbrace{\exists a+b'=(a+b)'}^{3}\}$

Покажем, что $1 \in M$.
Положим по определению:
$\forall a\in \mathbb{N}\ \ a+1:=a'$ и
$\forall a\in \mathbb{N}\ \ a+1':=(a+1)'$.
Все три условия для $b=1$ выполняются.

Пусть теперь $b \in M$. Покажем, что $b' \in M$.
По предположению индукции $\forall a\in \mathbb{N}$ уже определено $a+b'$.
Положим по определению: $\forall a\in \mathbb{N}\ \ a+(b')':=(a+b')'$.
Первое условие не касается $b'$, так как $b'\ne 1$.
Второе условие выполнено для $b'$ по предположению индукции.
Третье условие выполняется исходя из введенного определения.

Правильно? Сам Пеано с учениками ошибались, поэтому я не совсем уверен в своих рассуждениях