D-функции Вигнера

[Sicker]

Служат оператором поворота волновых функций моментов $l=0,\frac{1}{2},1...$
Для $l=\frac{1}{2}$, те полуцелого спина, оператор вращения представляет собой матричную экспоненту от матриц Паули, которая имеет простое выражение.
Но вот с помощью D-функций Вигнера отлично раскрывается операторная экспонента от поворотов вокруг оси $z$ и $y$.
А вот есть ли какая-нибудь красивая формула для поворота вокруг произвольной оси? Как в случае спина $s=\frac{1}{2}$.
И есть ли какая-нибудь таблица со всеми посчитанными малыми d-функциями Вигнера?

[Munin]

А слабо почитать ФЛФ?

[amon]

Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента [Наука, 1975] Глава 4.

[Sicker]

Munin
Спасибо) Я так понимаю, что прямое произведение трех спинов $\frac{1}{2}$ разбивается на прямую сумму спинов $\frac{3}{2}$ и $\frac{1}{2}$.
Если для спина $\frac{3}{2}$ мы все комбинации берем с плюсом, то для спина $\frac{1}{2}$ надо взять один минус, только вопрос, где его поставить?
amon
Я как раз про них из этой книжки и узнал

[Munin]

Sicker
Я вообще-то про другое место книги говорил, но вы тоже правы.

[Sicker]

Munin
А про какое?
Я кстати ошибся насчет произведения трех спинов)
Там будет прямая сумма $\frac{3}{2}$, $\frac{1}{2}$, и $\frac{1}{2}$

[Munin]

Sicker в сообщении #1047275 писал(а):

А про какое?

Глава 3, § 7 Преобразование к другому базису.
Глава 4, § 5 Повороты вокруг оси $x,$ § 6 Произвольные повороты.

[Sicker]

Munin
А я произвольным моментом интересовался)
PS. Я правильно то разложил произведение неприводимых представлений?

[Munin]

Sicker в сообщении #1047588 писал(а):

А я произвольным моментом интересовался)

Sicker в сообщении #1046884 писал(а):

А вот есть ли какая-нибудь красивая формула для поворота вокруг произвольной оси?

Шо-то я не понял. И в любом случае, я отвечал на вопрос про ось. Про произвольные моменты ответ более сложен, и да, считается так, как вы нашли, через представления группы спина.

[Sicker]

Munin
Как это сделать с помощью углов Эйлера понятно) Да, для совершения произвольного поворота нам надо знать матрицы поворота вокруг оси $z$ и $y$, но какой либо формулы наподобии обычной комплексной экспоненты нет?(где вместо обычного числа стоит скалярное Произведение оператора момента и оси вращения). Хотя вроде она и не нужна...

[Munin]

Sicker в сообщении #1047741 писал(а):

Да, для совершения произвольного поворота нам надо знать матрицы поворота вокруг оси $z$ и $y$, но какой либо формулы наподобии обычной комплексной экспоненты нет?(где вместо обычного числа стоит скалярное Произведение оператора момента и оси вращения).

Ну почему, как раз есть. $e^{\textstyle\hat{s}_x\varphi_x+\hat{s}_y\varphi_y+\hat{s}_z\varphi_z},$ где $(\varphi_x,\varphi_y,\varphi_z)=\varphi(n_x,n_y,n_z)$ - "вектор угла поворота", угол, умноженный на направляющие косинусы оси поворота, а $(\hat{s}_x,\hat{s}_y,\hat{s}_z)$ - операторы поворота нужного спина вокруг координатных осей на бесконечно малый угол.

[Sicker]

Munin
Эть, я так тоже могу
А расписать в явном виде?

-- 26.08.2015, 01:40 --

(Оффтоп)

У меня на 525 стр ЛЛ-3 под формулой 106.4 3j символы названы символами Вагнера, это опечатка да?

[Munin]

Sicker в сообщении #1047885 писал(а):

А расписать в явном виде?

В явном виде экспоненту не расписывают, а вычисляют. Впрочем, это вы уже умеете.

[Sicker]

Munin
Ну да, а можно воспользоваться известными вычисленными экспонентами поворотов вокруг $y$ и $z$ и из них составить оператор произвольного поворота

[Munin]

Вот именно. Но вы сказали про "какую-либо формулу", так вот, вот она.