И снова собственные делители

[Ktina]

Каждое из двух натуральных чисел равно сумме трёх различных собственных делителей другого (собственным делителем числа называется отличный от него натуральный делитель). Докажите, что эти два числа равны.
(А. Голованов)

[Shadow]

Пусть $n>m$

$n=m/a+m/b+m/c>m$, причем $2\le a<b<c$

Неравенство выполняется только при $a=2,b=3,c=3\text{ или } c=4$

В первом случае $n=\dfrac{13}{12}m$ Тогда $\dfrac n u+\dfrac n v+\dfrac n w=m=\dfrac{12}{13}n$

Никак, во втором случае тоже, там $\dfrac{30}{31}$

[Ktina]

Shadow
Спасибо!

[Ktina]

Shadow в сообщении #1046450 писал(а):

В первом случае $n=\dfrac{13}{12}m$ ... , во втором случае тоже, там $\dfrac{30}{31}$

И я думаю, тут метод скоростного спуска можно применить. Если оба числа чётные, делим их на 2, от этого ничего не меняется. Но тогда рано или поздно придём к тому, что одно из чисел станет нечётным, а это уже противоречие, ведь у нечётного числа все делители нечётны, значит сумма трёх делителей будет тоже нечётной, но второе число чётно (так как изначально отношение было 12 к 13 или 30 к 31, то есть было разное количество двоек в разложении).

[Shadow]

Ktina в сообщении #1046685 писал(а):

Если оба числа чётные, делим их на 2, от этого ничего не меняется

Как не меняется? В сумме могут участвовать и нечетные делители и как тогда делить на 2? Задача имеет решение и с 4, и с 5 слагаемыми. Например (пусть будет нечетное число слагаемых):

$\\80=30+20+15+10+5\\ 60=40+10+5+4+1$

У 80 и 60 тоже разное количество двоек в разложении. А делить на 2 нелзья.

Просто надо доказать, что уравнение: $\dfrac 1 x+\dfrac 1 y+\dfrac 1 z=\dfrac{12}{13}\quad\left(\dfrac{30}{31}\right)$ не имеет решений в нат. числах - нетрудно же.

[Ktina]

Shadow
Вы правы.