Коэффициенты прогонки на границе двух сред

[GreenEkatherine]

Строю разностную схему уравнения теплопроводности для двумерного случая двухслойного материала с функцией источника. Вводим условие IV рода на границе сред, которая находится в $x = x'$:
$\left\{ \begin{array}{rl} U_{1, i'} = U_{2, i'},\\ -\lambda_{1}\tfrac{\delta U_{1}}{\delta x}=-\lambda_{2}\tfrac{\delta U_{2}}{\delta x} & x = x', \end{array}\right.$
где $\lambda$ – коэффициент теплопроводности среды.
Для простоты рассматриваю сначала одномерный случай без дополнительного источника тепла:
$\tfrac{\delta U}{\delta t}=a\tfrac{\delta^2 U}{\delta x^2}$, где $a=\tfrac{\lambda}{\rho c}$ – коэффициент температуропроводности.
Разложим функцию теплопроводности в окрестностях точки границы сред в ряд Тейлора до членов второго порядка относительно пространственного шага:
$U_2^{n+1} = U_1^{n+1} + h\tfrac{\delta U}{\delta x} + h^2\tfrac{\delta^2 U}{\delta x^2} $.
Подставим производную второго порядка и получим:
$\tfrac{\delta U}{\delta x} = \tfrac{U_2^{n+1} - U_1^{n+1}}{h} - \tfrac{h}{2a}\tfrac{\delta U}{\delta t}$
Подставим в систему для получения коэффициентов прогонки:
$\left\{ \begin{array}{rl} -\lambda_{1}\tfrac{\delta U_{1}}{\delta x}=-\lambda_{2}\tfrac{\delta U_{2}}{\delta x},\\ U_{i'-1} = \alpha_{i'-1} U_{i'} + \beta_{i'-1} \end{array}\right.$
Если же то же самое надо проделать для двумерного случая с источником тепла, то есть для задачи:
$\rho c \tfrac{\delta U}{\delta t} - \lambda (\tfrac{\delta^2 U}{\delta x^2} + \tfrac{\delta^2 U}{\delta y^2}) = f(x, y, t)$
Правильно ли я считаю, что система будет выглядеть как
$\left\{ \begin{array}{rl} -\lambda_{1}(\tfrac{\delta U_{1}}{\delta x} + \tfrac{\delta U_{1}}{\delta y}) + f(x, y, t)=-\lambda_{2}(\tfrac{\delta U_{2}}{\delta x} + \tfrac{\delta U_{2}}{\delta y}) + f(x, y, t),\\ U_{i'-1} = \alpha_{i'-1} U_{i'} + \beta_{i'-1} \end{array}\right.$