Доказать подобие

[KPEHgEJIb]

В остроугольном треугольнике $ABC$ из вершин $A$ и $C$ проведены высоты, пересекающие стороны данного треугольника в тачках $M$ и $N$ соответственно. Доказать, что треугольник $BMN$ подобен треугольнику $ABC$.


Ясно что по двум углам. Угол $ABC$ общий.
Как доказать что угол $BAC$ равен углу $NMB$ ?

Пробовал через отношения кусочков оснований, к которым проведены высоты, но не вышло.

[RIP]

KPEHgEJIb писал(а):

Пробовал через отношения кусочков оснований, к которым проведены высоты, но не вышло.

Плохо пробовали. Рекомендую вспомнить определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника.

[sergey1]

Покажите, что точки A,C,M,N лежат на одной окружности, а потом вспомните признак вписанности четырехугольника.

[KPEHgEJIb]

RIP,
Рассмотрим треугольник $NBC$:
$\cos{a}=\frac{CN}{BN}$

Рассмотрим треугольник $ABM$:
$\cos{a}=\frac{AM}{BM}$

$\frac{CN}{BN}=\frac{AM}{BM}$
Стороны $CN$ и $BN$ пропорциональны сторонам $AM$ и $BM$. Угол $a$ общий. Так?

sergey1, признак вписанности четырёхугольника это что сумма противолежащих углов даёт $180°$.

sergey1 писал(а):

Покажите, что точки A,C,M,N лежат на одной окружности, а потом вспомните признак вписанности четырехугольника.

Покажите в смысле написовать окружность?

[sergey1]

Покажите - это замена слову "докажите", если речь идет о не очень сложных вещах.
Если бы было известно, что вышеуказанные 4 точки лежали на одной окружности, что можно было бы сказать об углах СAN и NMB по тому признаку, который Вы привели?

[NAT]

А разве нет теоремы, утверждающей, что углы, стороны которых взаимно перпендикулярны, равны (или дополняют друг друга до развернутого угла)? Доказательство на школьном уровне строгости - просто картинка, в которой оба угла отложены от одной вершины.

[Brukvalub]

KPEHgEJIb писал(а):

Стороны $CN$ и $BN$ пропорциональны сторонам $AM$ и $BM$. Угол $a$ общий. Так?

Да Вы все доказали, и еще Вы попутно нашли величину коэффициента подобия.

[RIP]

KPEHgEJIb писал(а):

RIP,
Рассмотрим треугольник $NBC$:
$\cos{a}=\frac{CN}{BN}$

Рассмотрим треугольник $ABM$:
$\cos{a}=\frac{AM}{BM}$

$\frac{CN}{BN}=\frac{AM}{BM}$
Стороны $CN$ и $BN$ пропорциональны сторонам $AM$ и $BM$. Угол $a$ общий. Так?

Идея правильная, но что-то у Вас все буквы перепутаны, по-моему.

[Brukvalub]

RIP прав, а я не посмотрел внимательно на чертеж - буквы Вы умудрились перепутать.

[KPEHgEJIb]

RIP, хоть это радует.
Brukvalub, сам не заметил .
NAT, если стороны углов взаимно перпендикулярны, то углы не могут быть никакими кроме как по $90°$. Или я не так вас понял.

[Brukvalub]

KPEHgEJIb писал(а):

NAT, если стороны углов взаимно перпендикулярны, то углы не могут быть никакими кроме как по $90°$. Или я не так вас понял.

Не так. Имеется в виду, что стороны одного угла попарно перпендикулярны сторонам другого угла.

[KPEHgEJIb]

Brukvalub, понятно. Тогда доплоняют друг друга до развёрнутого угла.

[Brukvalub]

KPEHgEJIb писал(а):

Brukvalub, понятно. Тогда доплоняют друг друга до развёрнутого угла.

Полная формулировка теоремы такова: Два угла с попарно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые, или оба тупые, или составляют в сумме развернутый угол, если один из них острый, а другой - тупой.