Произведение и сумма собственных делителей

[Ktina]

На какое минимальное значение могут отличаться произведение двух наименьших собственных делителей и сумма двух наибольших собственных делителей натурального числа?
(собственные делители - это натуральные делители, отличные от 1 и от самого числа)

[venco]

7

[hippie]

Ответ: на 1.
(У числа 6.)

Если дополнительно потребовать, чтобы пара наименьших собственных делителей и пара наибольших собственных делителей исходного числа были различными (т.е. чтобы исходное число имело не менее пяти делителей), то ответ 4 (у чисел 12 и 16).

[lopkityu]

Пусть $ d_1<d_2<...<d_{k-1}<d_{k} $ - собственные делители числа $ n $. Если $ k=2 $, то их сумма и произведение, очевидно, не могут быть равны. Если же $ k>2 $, то $ d_{k}\geq d_1d_2 $ (в противном случае получим $ n<d_1^2d_2 $, что невозможно). Поэтому равенство невозможно и искомая разность не может быть меньше 1; это значение достигается для $ n=6 $.

[Ktina]

lopkityu
hippie
У меня чуть иначе. Если исходное число нечётно, то все его делители нечётны. Но тогда сумма любых двух делителей чётна, а произведение нечётно. Таким образом, они не могут быть равны.
Если исходное число чётно, то наименьшие собственные делители - это 2 и некоторый делитель, назовём его $x$, а их произведение равно $2x$. Но если собственных делителей как минимум 3, то сумма двух наибольших уже больше, чем $2x$, а если собственных делителей ровно 2, то должно выполняться $x+2=2x$, откуда $x=2$, но он должен быть больше 2.
Противоречие.
Итак, равными они быть не могут, а значение 1, как уже упомянул hippie, достигается у числа 6.

hippie в сообщении #1046154 писал(а):

Если дополнительно потребовать, чтобы пара наименьших собственных делителей и пара наибольших собственных делителей исходного числа были различными (т.е. чтобы исходное число имело не менее пяти делителей), то ответ 4 (у чисел 12 и 16).

А как Вы это сделали?

[Shadow]

Ktina в сообщении #1046423 писал(а):

А как Вы это сделали?

Возможны два варианта для собственных делителей:

$p,q,\cdots ,up,uq$, где $p<q$ - простые и, если число имеет более двух собственных делителей, тоесть $u>1$, то $u\ge p$

Тогда разность $u(p+q)-pq\ge p(p+q)-pq=p^2$. И наименьшая, конечно, при $u=p=2$ Тогда собственные делители числа: $2,q,\cdots, 4,2q$ - тоесть, число $12$

Второй вариант:

$p,p^2,\cdots u,pu$, причем $u\ge p^2$

Аналогично
$u(p+1)-p^3 \ge p^2$

Минимальная разность при $p=2,u=4$, или число 16

[Ktina]

Shadow
Спасибо!