Задача про треугольник.

[boriska]

В треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H$, лежащей внутри треугольника. Известно, что $H$ — середина $AA_1$, а $CH : HC_1 = 2 : 1$ . Найдите величину угла $B$.

Пока что нет идей, но мне почему-то кажется, что здесь должно быть каким-то боком использовано св-во угла 30 градусов. Ясно, что третья высота проходит чрез точку пересечения этих двух высот. Через обозначения углов не получилось раскрутить. На что обратить внимание?

[Mihaylo]

Рассмотреть треугольники $AC_1H$ и $CA_1H$. Углы в этих треугольниках одинаковые, но разные стороны...

[boriska]

Mihaylo в сообщении #1045984 писал(а):

Рассмотреть треугольники $AC_1H$ и $CA_1H$. Углы в этих треугольниках одинаковые, но разные стороны...

Спасибо!



Значит эти треугольники подобны, потому $\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{C_1H}{HA_1}$.

$AH=HA_1=x$, $C_1H=y$, $HC=2y$, тогда $\dfrac{x}{2y}=\dfrac{y}{x}$, $x=\sqrt{2}y$.

Тогда по теореме пифагора находим $C_1H=\sqrt{2}y$. Получается угол $HAC_1$ равен $45$ градусов. Значит угол $B$ равен $45$ градусов. Правильно?

[Kocmoz]

boriska в сообщении #1046000 писал(а):

Получается угол $HAC_1$ равен $45$ градусов

Если это так, то треугольник получается равнобедренный и $x=y$... И $\frac{x}{2y}\;\ne\frac{y}{x};$ Значит вывод неправильный

[grizzly]

boriska в сообщении #1046000 писал(а):

Тогда по теореме пифагора находим $C_1H=\sqrt{2}y$

Вы хотели вместо этого сказать:
Тогда по теореме Пифагора находим $C_1A=y$?
А так всё верно.

[NSKuber]

Kocmoz в сообщении #1046010 писал(а):

треугольник получается равнобедренный и $x=y$...

Вы катет с гипотенузой перепутали. А треугольник действительно равнобедренный получается.

[Kocmoz]

Kocmoz в сообщении #1046010 писал(а):

$x=y$...

Извиняюсь, этого равенства тут быть не должно накосячил при наборе, а теперь не получается убрать почему-то. Не освоился с набором формул ещё
Сообщение должно было такое:
Получается треугольник равнобедренный и $\frac{x}{2y}\ne\frac{y}{x}$

[NSKuber]

Kocmoz в сообщении #1046027 писал(а):

Получается треугольник равнобедренный и $\frac{x}{2y}\ne\frac{y}{x}$

Про какой треугольник вы говорите и почему так получается? Если про рассматриваемые прямоугольные, то их равнобедренность была получена из равенства $\frac{x}{2y}=\frac{y}{x}$ и никоим образом ему не противоречит.