Ах, какие забавные числа!

[Ktina]

Назовём натуральное число $n$ забавным, если для любого его натурального делителя $d$ число $d+2$ является простым.

а) Какое наибольшее количество делителей может иметь забавное число?

б) Найдите все забавные числа с максимальным количеством делителей.

(Центральноамериканская олимпиада, 2014)

[12d3]

Пока что удалось доказать, что не более 10 делителей, рассматривая остатки при делении на 3. Но вот число нашлось максимум с 8 делителями - 135.

[venco]

Если добавить модуль 5, то ограничение опустится до 8. Да и вариант только один останется.

[Ktina]

venco
А можно чуть-чуть поподробнее?

[venco]

Очевидно, среди делителей не может быть двойки или любого простого с остатком 1 по модулю 3. Остаются тройки (их может быть несколько) и максимум один простой делитель $p=2 \pmod 3$. Причём степень тройки никак не больше 4 т.к. $3^5+2 = 245$.
Может ли забавное число иметь вид $3^4\cdot p$?
Если $p=5$, то $3^4\cdot 5 + 2 = 407$ делится на 11.
Если $p \ne 5$, то даже если взять делители вида $3^k\cdot p, k=0...3$, то среди них как минимум один при делении на 5 даст остаток 3, т.е. число не будет настолько забавным. Таким образом, при $p\ne 5$ возможны забавные числа максимум вида $3^2\cdot p$, с 6-ю делителями.
А вот вариант $3^3\cdot 5$ вполне забавен, с 8-ю делителями.

[Ktina]

venco
Спасибо!