О точках разрыва и классах Бэра

[Mikhail_K]

Функции первого класса Бэра - это те, которые являются поточечным пределом всюду сходящейся последовательности непрерывных функций.

Множества типа $F_\sigma$ - это те, которые являются счётным объединением замкнутых множеств.

Множества первой категории - это те, которые являются счётным объединением нигде не плотных множеств.

----------

Интересуют следующие утверждения.

1) Если множество точек непрерывности функции всюду плотно, то она принадлежит первому классу Бэра.
2) Множество точек разрыва произвольной функции есть множество типа $F_\sigma$.
3) Множество точек разрыва функции первого класса Бэра есть множество первой категории.

----------

Посоветуйте литературу, где приведены эти утверждения. (Надеюсь, что записал их верно.)
У Куратовского, насколько я понял, классы Бэра вводятся несколько нестандартно и не совсем эквивалентно.

Особенно интересует, распространяются ли данные утверждения 1-3 только на функции, заданные на отрезке или на прямой, или обобщаются на другие пространства - $R^n$, а лучше - произвольные метрические.
Например, если вместо функций - отображения двух метрических пространств, то справедливы ли данные утверждения при каких-либо условиях?

[g______d]

Mikhail_K в сообщении #1045907 писал(а):

2) Множество точек разрыва произвольной функции есть множество типа $F_\sigma$.

Пусть $A_n$ -- множество точек, в которых разница между верхним и нижним пределом функции $\ge 1/n$. Упражнение: $A_n$ замкнуто.

[Mikhail_K]

g______d в сообщении #1045911 писал(а):

Пусть $A_n$ -- множество точек, в которых разница между верхним и нижним пределом функции $\ge 1/n$. Упражнение: $A_n$ замкнуто.

Докажем, что дополнение $X\backslash A_n$ открыто. Возьмём точку $x$ из этого множества. Пусть в ней нижний предел равен $a$, верхний равен $b$, причём $b-a<1/n$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ найдётся окрестность $O_\delta(x)$, в точках которой функция принимает значения только из интервала $(a-\varepsilon,b+\varepsilon)$ - иначе удалось бы построить последовательность, сходящуюся к $x$, но на которой $f(x)$ имеет верхний предел выше $b$ или нижний ниже $a$. Возьмём $\varepsilon<(1/n-(b-a))/2$. Тогда длина упомянутого интервала $b-a+2\varepsilon<1/n$ и в точках из $O_\delta(x)$ функция не может иметь разность пределов $\geq 1/n$. Поэтому $O_\delta(x)\subset X\backslash A_n$ $\Rightarrow$ $X\backslash A_n$ открытое $\Rightarrow$ $A_n$ замкнутое.

И да, отсюда утверждение (2) следует для числовых функций на любом метрическом пространстве. А заменяя верхние-нижние пределы на колебание функции, получаем утверждение и для произвольных метрических пространств. Спасибо.

[lyuk]

Первое утверждение неверно. Бэр доказал, что функция $f$ первого класса Бэра тогда и только тогда, когда её сужение на каждое замкнутое подмножество имеет всюду плотное множество точек непрерывности. Исходя из этого можно построить пример.

-- 17.08.2015, 21:13 --

Утверждение 2) справедливо для отображения топологического пространства в метрическое. А в утверждении 1) наверное имеется ввиду обратная импликация. Она правильная для отображений бэровского пространства в метрическое. Теперь 3) следует из 1) и 2).

[Mikhail_K]

lyuk в сообщении #1045933 писал(а):

Первое утверждение неверно. Бэр доказал, что функция $f$ первого класса Бэра тогда и только тогда, когда её сужение на каждое замкнутое подмножество имеет всюду плотное множество точек непрерывности. Исходя из этого можно построить пример.

Утверждение 2) справедливо для отображения топологического пространства в метрическое. А в утверждении 1) наверное имеется ввиду обратная импликация. Она правильная для отображений бэровского пространства в метрическое. Теперь 3) следует из 1) и 2).

Вот я и прошу литературу, в которой утверждения 1, 2, 3 указаны верно.
К моему стыду, я не знаю (или не помню), что такое бэровское пространство. Подскажите!

Скажите, "4) функция $f$ первого класса Бэра тогда и только тогда, когда её сужение на каждое замкнутое подмножество имеет всюду плотное множество точек непрерывности" - это только для числовых функций или для отображений метрических пространств тоже годится?

Как 3) получается из 1) (у функции первого класса Бэра множество точек непрерывности всюду плотно) и 2) - интересно. Для этого нужно показать, что если множество $M$ типа $F_\sigma$ есть дополнение к всюду плотному множеству, то $M$ есть множество первой категории. Но $F_\sigma$ есть счётное объединение замкнутых множеств; каждое из них нигде не плотно, так как, будь оно плотно в некотором шаре, оно содержало бы этот шар и не могло бы лежать в дополнении к всюду плотному множеству. Отсюда получаем требуемое.

Скажите ещё, утверждения 1) или 4) также можно доказать в несколько строк рассуждениями наподобие приведённых выше, или это требует более сложных рассуждений?

[mihailm]

Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной, 1974,
Глава Классификация Бэра

[Mikhail_K]

Спасибо. Однако там нет ничего про обобщения этой классификации на отображения метрических пространств.

[grizzly]

Mikhail_K в сообщении #1046092 писал(а):

Однако там нет ничего про обобщения этой классификации на отображения метрических пространств.

Не уверен, что хорошо понимаю Ваши потребности, но не поможет ли простой гуглопоиск среди старых статей, таких как эта или эта? (В последней работает ссылка "Access to full text". А первая ссылка целенаправленно найдена из списка литературы во второй.) Но это то, что нашлось за пару минут, наверняка должны быть десятки других статей подобного плана.

[Mikhail_K]

Спасибо, статьи посмотрю.
А на русском языке нет ничего?
lyuk, скажите, где Вы прочитали про данные утверждения:

lyuk в сообщении #1045933 писал(а):

Утверждение 2) справедливо для отображения топологического пространства в метрическое. А в утверждении 1) наверное имеется ввиду обратная импликация. Она правильная для отображений бэровского пространства в метрическое.

?

Или хотя бы скажите, что такое бэровское пространство. Может, я не умею гуглить, но это нагуглить не удалось.

[grizzly]

Mikhail_K в сообщении #1046126 писал(а):

А на русском языке нет ничего?

Есть достаточно много с обобщениями результатов на метрические пространства. Одна из приведенных мной выше статей на русском. Пытайтесь гуглить -- я не хочу советовать конкретные статьи, не имея должного уровня владения материалом. К тому же не совсем представляю Ваш уровень -- боюсь, что рекомендации смотреть журнальные статьи не вполне уместны. Хотя, если повезёт, можно выудить статью с общим обзором результатов.

Mikhail_K в сообщении #1046126 писал(а):

Или хотя бы скажите, что такое бэровское пространство.

Можно сказать так:

Цитата:

Пространство Бэра есть топологическое пространство, в котором пересечение любого счетного семейства всюду плотных открытых множеств всюду плотно.

Но лучше держать в уме эквивалентные определения.

[Mikhail_K]

Спасибо. Вроде бы понимаю теперь, что к чему.

Меня сейчас больше всего занимает вот такое утверждение, приведённое lyuk'ом:

Если отображение из бэровского пространства в метрическое принадлежит первому классу Бэра, то множество его точек непрерывности всюду плотно.

Было бы интересно прочитать, где это утверждение сформулировано и насколько просто оно доказывается. Можно даже чуть менее общее - для отображений из полного метрического в метрическое. Видимо, оно должно доказываться независимо от критерия через сужения на произвольные замкнутые подмножества.

[Maslenizza]

Посмотрите у Куратовского, 1 том, с. 406

[Mikhail_K]

Спасибо. Теперь всё ясно.