Линейная цепочка

[Blancke_K]

something strange
Посмотрите вышеупомянутую книгу Фейнмана-Хиббса и задачник Коткина-Сербо главу 7.

[levtsn]

Если просто в мешанине обрезать пружинку, то частоты станут меньше, так как жесткости в системе стало меньше а массы не изменилось.

[Blancke_K]

Ну-ну. Если пружину обрезать, то это уже две системы, а не одна.
Словеса тут не надо, пжлст

[Freude]

А что в вашем формализме означает "склеенная пружинка"? Какая у нее жесткость?

[Blancke_K]

Freude
Не понял вопрос? Обыкновенная цепочка из $N$ шариков, соединенных пружинками жесткости $k$.

[Freude]

Blancke_K в сообщении #1045681 писал(а):

Обыкновенная цепочка из $N$ шариков, соединенных пружинками жесткости $k$.

Ну после того как выкинули шар, то получается шаров $N-1$. Опишите подробнее дефект. Если шарик вылетел, образовалась вакансия, она представлена пружиной жесткости $k$ и просто периодичность решетки нарушилась?

[Blancke_K]

Freude
Совершенно верно, образуется вакансия. Но если $n$-й шарик вылетает, то как я уже говорил выше, две соседние пружинки превращаются в одну большей длины. При этом жесткость этой двойной пружинки уменьшается в два раза.
А суть в том, чтобы мысленно разбить получившуюся систему на две и подобрать для каждой правильные граничные условия. Формально это означает, что систему из $N$ линейных дифференциальных уровней теперь надо переписать как две совместные: 1-я система состоит из уравнений $1,2...n-1$, вторая - из $n+1,n+2...N$. Только в $n-1$ и $n+1$ уравнении теперь появляется жесткость $k/2$. Продолжение ясно?
P.S. Прошу прощения, я временно занят. Если хотите, чтобы я выложил полное решение, то смогу это сделать только через пару дней. Но ее приятнее решать самому, там красивая связь между $n-1$ и $n+1$ решением получается.

-- 17.08.2015, 04:00 --

Ой, что-то я намудрил.
Да просто в решении для цепочки без вакансий кладем $m_{n}=0$, а остальные массы - одинаковыми. Аккуратно подбираем решение получившейся системы (полезно также воспользоваться решением задачи 7.7 а) из Коткина-Сербо). И таким образом находим решение.
Тут на самом деле есть несколько эквивалентных способов, которые приводят к одинаковому результату, но предложенный мной видимо самый простой.