Задача на площадь

[Don-Don]

1) Через точку, лежащую внутри треугольника проведены три прямые, параллельные его сторонам. Они разбивают треугольник
на $6$ частей, три из которых треугольники, а оставшиеся три — параллелограммы.
а) Пусть площади получившихся треугольников равны $S_1,S_2,S_3$. Найдите площадь исходного треугольника.
б) Пусть площади получившихся параллелограммов равны $S_4,S_5,S_6$. Найдите площадь исходного треугольника.



а) $\dfrac{S_1+S_3+S_4}{S_1}=\left(\dfrac{AL}{EO}\right)^2$

$Tl=kEO$, где $k=\sqrt{\dfrac{S_3}{S_1}}$

$AL=(1+k)EO$

$S_4=(1+k)^2S_1-S_1-S_3$

$S_5,S_6$ ищутся аналогично. Правильно?

-- 14.08.2015, 02:38 --

2) Точка $M$ взята на стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$, а на продолжении стороны $BC$ за вершину $C$ отмечена
точка $N$ так, что $BM = MN$. Докажите, что $AM = CN$.



Если $BM$ медиана, то все очень просто доказывается, но в такой постановке -- у меня даже нет идей -- за что зацепится.
Пробовал двигать точку $M$, видно $CN$ будет синхронно изменяться с $AM$ при движении точки $M$ вдоль отрезка $AC$

-- 14.08.2015, 02:41 --

Была мысль опустить медиану из точки $MK$ на $BN$, тогда $MC=2KC$, но это вроде как ничего не дает.

[iancaple]

Don-Don в сообщении #1045168 писал(а):

1)$k=\sqrt{\dfrac{S_3}{S_1}}$
...
$S_4=(1+k)^2S_1-S_1-S_3$

$S_5,S_6$ ищутся аналогично. Правильно?

Правильно. Упростить бы ответ

Цитата:

2)...
Была мысль опустить медиану из точки $MK$ на $BN$, тогда $MC=2KC$, но это вроде как ничего не дает.

Это все дает, так как и $BK=KN$. Еще проще провести через $M$ прямую, параллельную $AB$ и использовать, что треугольник равносторонний.

[redicka]

Don-Don, ведь в решении нельзя использовать условие двух задач.

[Deggial]

Пост redicka переехал в Карантин