Борелевская конечно-аддитивная, но не счётно-аддитивная мера

[kp9r4d]

Собственно, предлагается привести пример борелевской, конечно-аддитивной, но не счётно аддитивной меры. Задача отсюда (какая-то из контрольных Вербицкого по мере), и там написано, что эту задачу сам Вербицкий не знает как решить без ультрафильтров. Я придумал следующее: введём меру на сигма-алгебре $(\mathbb{R}, 2^{\mathbb{R}})$ следующим образом:
1) Мера одноточечного множества $\{x\}$ равна $m(\{x\}) = \frac{1}{|x|}$.
2) Мера любого конечного множества - по аддитивности.
3) Мера любого бесконечного множества $=+\infty$.
теперь ограничим $2^{\mathbb{R}}$ на сигма-алгебру борелевских множеств. Получим требуемую меру (счётно аддитивность теряется, например, если взять объединение одноточечных множеств вида $\{\frac{1}{n^2}\}$), мне интересно, я что-то в задаче не допонял, или собака была зарыта столь неглубоко? Или имелись в виду только конечные меры?

[g______d]

Можно ещё проще: все конечные множества имеют меру 0, бесконечные -- $+\infty$.

[grizzly]

Судя по всему, в задаче неявно предполагалось, что мера любого ограниченного множества конечна. Это вполне естественное ограничение для различных задач. Но да, такое нужно явно оговаривать.