Ошибка Maple или за эим что-то стоит в математике?

[Divergence]

Не могу понять почему Maple (правда у меня старый Maple V Release 4) дает неправильный ответ для простейшего ряда:

$$S:=\sum^{\infty}_{n=1} \, (-1)^n= ?$$

В Maple команда >restart:S:=sum((-1)^n,n=1..infinity); дает ответ S=-1/2.
Команды >restart:S:=sum((-1)^n,n=2..infinity); и команда >restart:S:=sum((-1)^n,n=0..infinity);$[/math] дают ответ S=1/2.

Это ошибка в Maple или какая то есть история для того, чтобы давать такой ответ?
Может приведенный ряд для некоторых случаях в математике принимают равный 1/2 ?
Подскажите в каких это случаях так делают ? и если можно дайте пожалуйста ссылку.

[Brukvalub]

Ссылка.

[Someone]

Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II. "Наука", Москва, 1969.

Параграф 9 одиннадцатой главы называется "Суммирование расходящихся рядов".

[Divergence]

Спасибо за ссылки. Да у Фихтенгольца не заметил.

[Divergence]

А можно ли доказать, что следующая "обобщенная сумма" равна нулю или нет?

$$S:=\sum^{\infty}_{n=1} \, n^{2m} \, (-1)^n = 0 \quad ? \quad m \in \mathbb{N}.$$

(обобщенные суммы знакопеременных рядов с $n^0$ и $n^1$ есть как, вы указали в ссылках, а для $n^2$ ... ?)

[Someone]

Там же в Фихтенгольце пункт 425, подпункт 6) (ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n(n+1)^k$) и окончание пункта 449.

[Divergence]

Огромное спасибо за точные ссылки.
Здорово.
Извиняюсь на невнимательность.