Несобственный интеграл не поддается

[Human]

$$\int\limits_0^{+\infty}\dfrac{\ln x}{e^x+1}\,dx$$

Вольфрам альфа говорит, что этот интеграл равен $-\frac12\ln^22$, но у меня никак не выходит это вывести. Пытался преобразовывать заменами, вводить параметр - ничего. Удалось только представить в виде ряда:

$-\gamma\ln2+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}n\ln n$

Соответственно, с нахождением суммы ряда тоже проблема. Прошу подсказать какие-нибудь идеи.

[kp9r4d]

А он разве не неограничен в нуле?

[Human]

В нуле подынтегральная функция эквивалентна логарифму (с константой), а интеграл от логарифма в окрестности нуля ограничен.

$\int\limits_{\varepsilon}^1\ln x\,dx=\varepsilon-1-\varepsilon\ln\varepsilon\to-1,\ \varepsilon\to0+$

[nnosipov]

Можно посмотреть решение в книге "Избранные задачи из журнала American Mathematical Monthly" (задача 293). Здесь этот интеграл тоже обсуждался, можно попробовать поискать.

[ИСН]

Как бы потоньше намекнуть... Умножить верх на $x^a$, потом типа продифференцировать по $a$, только наоборот.

[Human]

nnosipov в сообщении #1044498 писал(а):

Можно посмотреть решение в книге "Избранные задачи из журнала American Mathematical Monthly" (задача 293).

Огромное спасибо!