Помогите разобраться с выводом формул по колебаниям

[Atom001]

Здравствуйте! Заинтересовался я колебаниями и (как обычно) решил что-нибудь вывести по данной теме. Выбор пал на амплитуду колебаний груза, подвешенного на пружине.
1) Итак, я начинаю с уже готовой формулы (потому что её вывод очевиден): $x''=-{\omega_0}^2x$
2) Решим ДУ, чтобы получить формулу координаты груза.

$x''+{\omega_0}^2x=0$

${\lambda}^2+{\omega_0}^2=0$

$\lambda=\pm\omega_0i$

$x=e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t)$

$x= C_1 \cos\omega_0 t+C_2\sin\omega_0 t$

3) Теперь надо определить значения констант. Для этого решим задачу Коши для данного ДУ со следующими условиями - $x(0)=x_0$ и $v(0)=v_0\Rightarrow x'(0)=v_0$

$$\left\{ \begin{array}{lcl} x=C_1\cos\omega_0 t+C_2\sin\omega_0 t \\ x'=-\omega_0 C_1 \sin\omega_0 t +\omega_0 C_2 \cos \omega_0 t \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} x_0=C_1 \cos 0+C_2 \sin 0=C_1\\ v_0=- \omega_0 C_1\sin 0 + \omega_0 C_2 \cos 0=\omega_0 C_2\\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} C_1=x_0\\ C_2=\frac{v_0}{\omega_0}\\ \end{array} \right. $$

4) Тогда уравнение координаты запишется так: $x=x_0 \cos \omega_0 t + \frac{v_0}{\omega_0}\sin \omega_0 t$

5) По определению амплитуда - это максимальное смещение от положения равновесия. То есть $A=\max(|x-x_0|)$
Но так как $x_0=\operatorname{const}$, то данная разность окажется максимальной тогда, когда $x$ примет максимальное значение.

6) Теперь требуется найти максимальное значение функции $x=x_0 \cos \omega_0 t + \frac{v_0}{\omega_0}\sin \omega_0 t$
Чтобы его найти, нужно выяснить при каком значении $t$ функция $x(t)$ принимает наибольшее значение. Для этого найдём нули производной функции.

$$t=\frac{1}{\omega_0}\arctg\frac{v_0}{x_0\omega_0}+\frac{\pi}{\omega_0}k \text{ , где } k\in\mathbb{Z}$$

Но легко видеть, что $t(k)$ - функция монотонная. Поэтому не получается найти такое $t$, при котором $x(t)$ примет максимальное значение. Выходит, что колебаний вообще быть не должно.

Скажите, пожалуйста, где и в чём я ошибаюсь.

[Kephe]

Atom001 в сообщении #1043981 писал(а):

6) Теперь требуется найти максимальное значение функции $x=x_0 \cos \omega_0 t + \frac{v_0}{\omega_0}\sin \omega_0 t$
Чтобы его найти, нужно выяснить при каком значении $t$ функция $x(t)$ принимает наибольшее значение. Для этого найдём нули производной функции.

Отвечу только по этому пункту.

Можно воспользоваться преобразованием выражения вида $Acos(y) + Bsin(y)$ в выражение вида $Csin(y + \phi)$. Константы $C$ и $\phi$ находятся по формулам $C = \sqrt{A^2 + B^2}, \phi = atan2(A, B)$. Имея в виду такое преобразование, сразу ясно, что

$$|x|_{max} = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega_0^2}$$

[Atom001]

Kephe в сообщении #1043992 писал(а):

Отвечу только по этому пункту.

Спасибо! Это достаточно полезное замечание.


Но всё-каки хочется добраться до такого же результата моим путём.

[Nemiroff]

Atom001 в сообщении #1043981 писал(а):

Но легко видеть, что $t(k)$ - функция монотонная. Поэтому не получается найти такое $t$, при котором $x(t)$ примет максимальное значение.

Я не понимаю это "поэтому".

[Atom001]

Nemiroff в сообщении #1044000 писал(а):

Я не понимаю это "поэтому".

Мы ведь должны найти знаки постоянства $x'(t)$. Но на всей области определения $x'(t)\geqslant 0$. А это значит, что $x_{\text{max}}=x(\infty)$.

[Nemiroff]

Atom001 в сообщении #1044002 писал(а):

Мы ведь должны найти знаки постоянства $x'(t)$

Какое постоянство? Вы же сами нашли корень

$$t=\frac{1}{\omega_0}\arctg\frac{v_0}{x_0\omega_0}+\frac{\pi}{\omega_0}k \text{ , где } k\in\mathbb{Z}$$

Atom001 в сообщении #1044002 писал(а):

Но на всей области определения $x'(t)\geqslant 0$.

Это ещё почему?

[Atom001]

Nemiroff в сообщении #1044006 писал(а):

Какое постоянство?

Прошу прощения. "Промежутки знакопостоянства".

Nemiroff в сообщении #1044006 писал(а):

Это ещё почему?

Это я погорячился.

Nemiroff в сообщении #1044006 писал(а):

Вы же сами нашли корень

Всё, я понял. Спасибо!
Просто запутался во всех этих функция и их производных.

[Nemiroff]

Ну ведь если бы вы полином третьей степени на экстремумы проверяли --- вы бы нашли производную, а это полином второй степени. Приравняли нулю --- два корня. И эти два корня в общем случае разные, и могут "монотонно зависеть от номера корня". И это ничего не значит. Тут то же самое, только корней счётное число.

Atom001 в сообщении #1044013 писал(а):

Всё, я понял. Спасибо!

Отлично.

[Munin]

Atom001 в сообщении #1043981 писал(а):

Но легко видеть, что $t(k)$ - функция монотонная. Поэтому не получается найти такое $t$, при котором $x(t)$ примет максимальное значение. Выходит, что колебаний вообще быть не должно.

Всё вы пишете правильно, кроме этого пункта. На самом деле, $x(t_\mathrm{zero}(k))$ все одинаковы для всех $k,$ так что наибольшее значение достигается в каждой из этих точек. (Вспомните, в определении наибольшего значения говорится, что значение функции в этой точке должно быть больше или равно, чем в любой другой точке - то есть, например, у константной функции в любой точке наибольшее значение.)

На будущее, если у вас есть периодическая функция (а ваша $x(t),$ как легко заметить, периодическая), то для анализа на экстремумы достаточно рассмотреть только один период этой функции.

[Atom001]

Munin в сообщении #1044120 писал(а):

На будущее, если у вас есть периодическая функция (а ваша $x(t),$ как легко заметить, периодическая), то для анализа на экстремумы достаточно рассмотреть только один период этой функции.

Спасибо! Буду иметь ввиду.
А вообще, в школе исследованию периодических функций на экстремумы уделялось ну очень мало внимания, да и сам я очень редко с подобными задачами сталкивался. А тут вот столкнулся и сразу же запутался. Я-то решил заняться колебаниями, потому что начал изучать ДУ. Мне сразу же захотелось поприменять ДУ на практике, а в колебаниях это сделать как раз и можно. И я думал, что именно в ДУ где-нибудь ошибусь, но оказалось, что ошибся в поиске наибольшего значения.


Так. Амплитуду нашли. Теперь нужно найти начальную фазу (как известно, она подобно амплитуде зависит от начальных условий).
Но, если с амплитудой было всё просто (амплитудой мы назвали наибольший $x(t)$), то с начальной фазой не так всё очевидно. Какое условие нужно поставить, чтобы из уравнения координаты $x(t)$ найти и выразить через начальные условия начальную фазу колебаний?
Возможно, $\phi$ в формуле Kephe как раз и является этой самой $\varphi_0$. Но нельзя ли получить начальную фазу другим способом?

[Ms-dos4]

Atom001
Начальная фаза и появляется именно в выражении вида $\[A\sin (\omega t + \varphi )\]$. Вообще здесь 2 типа начальных условий. Вы можете задавать начальную координату и начальную скорость (как это обычно делается в механике) и получить $\[{x_0}\cos \omega t + \frac{{{v_0}}}{\omega }\sin \omega t\]$, либо задавать в качестве начальных условий амплитуду и фазу (как это более удобно в колебаниях), и тогда получите $\[A\sin (\omega t + \varphi )\]$. Переход от одних к другим уже описал Kephe
$\[a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin (x + {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{b}{a})\]$
Арктангенс не всегда даёт верную "чётверть", где находится фаза, поэтому можно использовать
$\[\left\{ \begin{array}{l} \sin \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\ \cos \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \end{array} \right.\]$
Можете сразу искать амплитуду и фазу через $ \[{x_0}\]$ и $\[{v_0}\]$ записав $\[x\]$ в виде $\[A\sin (\omega t + \varphi )\]$. Тут найдите скорость и получите два уравнения.

[Atom001]

Ms-dos4
Ясно. Спасибо!

[Munin]

На самом деле, у слов "амплитуда" и "начальная фаза" нет такого общего универсального смысла, как вы думаете. Их нельзя использовать по отношению к какой-то произвольной функции колебаний, и всегда находить аналитическими способами. Скорее, смысл этих слов более условный. Когда колебание имеет вид синусоиды, то просто условились называть амплитудой и начальной фазой подчёркнутые константы в формуле $\underline{A}\sin(\omega t+\underline{\varphi})$ (чаще пишут формулу с косинусом $\underline{A}\cos(\omega t+\underline{\varphi}),$ причём вы сразу видите, что здесь начальной фазой называют другую величину).

Если есть какое-то другое периодическое колебание, то понятия "амплитуды" и "начальной фазы" применяются реже. Но иногда можно их понимать так:
- амплитуда - это размах от наибольшего до наименьшего значения за период;
- начальная фаза - это задержка функции по времени от какого-то условленного, отдельно оговорённого "начального положения", которая происходит без изменения, или почти без изменения, формы самой функции.

Ещё нередко встречается формула затухающих колебаний: $\underline{A}\,e^{-t/\tau}\cos(\omega t+\underline{\varphi})$ - тогда тоже можно называть эти константы $A$ и $\varphi$ амплитудой и фазой, а $\tau$ называется характе́рным временем затухания.

-- 11.08.2015 13:41:47 --

(Оффтоп)

Ms-dos4 в сообщении #1044410 писал(а):

Арктангенс не всегда даёт верную "чётверть", где находится фаза

Для этого как раз используется условная функция $\operatorname{atan2}(x,y)$ от двух переменных, которая не только даёт арктангенс, но и размещает его в нужной четверти, смотря по знакам аргументов. В программировании, такую функцию математические пакеты предоставляют почти всегда (и она даже реализована как команда микропроцессора).

[Kephe]

На всякий случай уточню, что под $\varphi = atan2(A, B)$ имел в виду стандартное в компьютерной сфере (но не уверен, что всем понятное) обозначение для арктангенса от двух параметров: https://en.wikipedia.org/wiki/Atan2
Такая функция позволяет получить правильную фазу для всех возможных сочетаний знаков множителей при $\cos$ и $\sin$.

Об этой тонкости с выбором правильной четверти чуть выше уже упомянул Ms-dos4.

edit: Munin опередил.

[Atom001]

Munin
Понятно. Спасибо!

Munin в сообщении #1044419 писал(а):

Для этого как раз используется условная функция $\operatorname{atan2}(x,y)$ от двух переменных

А что это такое? Я вообще-то думал, что Kephe ошибся и вместо $\arctan\frac{B}{A}$ написал $\operatorname{atan2}(A,B)$. Эта функция используется только в программировании или в математике тоже? Я просто в математике никогда такого не встречал.

Kephe в сообщении #1044423 писал(а):

https://en.wikipedia.org/wiki/Atan2

Наверное всё-таки в математике данная функция не используется, потому что куда проще пользоваться системой из синуса и косинуса.

-- 11.08.2015, 19:11 --

Я ещё нашёл период колебаний. Всё сошлось. Может быть подкинете ещё пару задачек по этой теме (в идеале, чтобы было связано с ДУ).