Сумма, кратная каждому из слагаемых

[Ktina]

Сумма четырёх натуральных чисел (не обязательно различных) делится на каждое из них.
Какие значения может принимать эта сумма?

[Andrey A]

$\frac{s}{x_1}=y_1;\frac{s}{x_2}=y_2;\frac{s}{x_3}=y_3;\frac{s}{x_4}=y_4$.
Какие значения может принимать эта сумма? $\Leftrightarrow $ Решить в общем виде уравнение $s=x_1y_1=x_2y_2=x_3y_3=x_4y_4$
Каждая пара множителей с различными индексами может иметь "уникальный" общий делитель $d_i$, тогда для множителей с одинаковыми индексами выбора не остается. Вроде бы так. Всего понадобится $6\cdot 2+4\cdot 2+2\cdot 2=24$ переменные. $s=d_1d_2d_3...d_{23}d_{24}$.
Upd
А, извиняюсь. Условие толком не прочел.

[Ktina]

Andrey A
Как-то сложновато у Вас.
Олимпиада - для восьмого класса.

[Andrey A]

Ну да, ну да.

[Andrey A]

$4k,6k,10k.$ В конкретных случаях могут быть варианты, но вз. простых четверок вроде бы конечное число.
$(1,1,1,1)\ (2,2,1,1)\ (3,1,1,1)\ (4,2,1,1)\ (5,2,2,1)\ (6,3,2,1)\ (9,6,2,1)\ (12,8,3,1)\ (15,10,3,2).$

[Shadow]

Да, вариантов немало, но конечное число. Добавим еще $(4,4,3,1)\;(6,4,1,1)\;(10,5,4,1)\;(21,14,6,1)$

[Andrey A]

Хотя вот еще: $42k=21k+14k+6k+1k.$ Оно, конечно, кратно шести, но как описать все непропорциональные четверки - пока не понимаю.
Upd
Ага, дубль. Без единицы - единственная? Не может быть.

[Shadow]

Я по аналогии с задачей http://dxdy.ru/post1042266.html#p1042266
Правда, там проще, наименьшее число дано (единица) и условие "все числа разные" облекчает перебор. Но все равно, вариантов - конечное число. Я проверил вроде все варианты, но не исключено, то что-то пропустили.

[Sender]

Очевидно, задача сводится к поиску четвёрок натуральных чисел $x_1,x_2,x_3,x_4$, удовлетворяющих условию $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=1$, тогда $s=k\text{НОК}(x_1,x_2,x_3,x_4).$ Положим $x_1 \leqslant x_2 \leqslant x_3 \leqslant x_4$. Ясно, что $1<x_1\leqslant 4 $, т.е. $x_1 \in \{ 2,3,4\}$. Рассмотрим все случаи.
1. $x_1=2$. Тогда $\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{1}{2}.$ Ясно, что $2<x_2\leqslant 6 $, т.е. $x_2 \in \{ 3,4,5,6\}$.
1.1. $x_2=3$. Тогда $\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{1}{6}.$ $6<x_3\leqslant 12 $. Отсюда четвёрки $\{2,3,7,42\},\{2,3,8,24\},\{2,3,9,18\},\{2,3,10,15\},\{2,3,12,12\}.$
1.2. $x_2=4$. Тогда $\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{1}{4}.$ $4<x_3\leqslant 8 $. Отсюда четвёрки $\{2,4,5,20\},\{2,4,6,12\},\{2,4,8,8\}.$
1.3. $x_2=5$. Тогда $\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{3}{10}.$ $5 \leqslant x_3\leqslant 6 $. Отсюда четвёрка $\{2,5,5,10\}.$
1.4. $x_2=6$. Тогда $\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{1}{3}.$ $6 \leqslant x_3\leqslant 6 $. Отсюда четвёрка $\{2,6,6,6\}.$
2. $x_1=3$. Тогда $\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{2}{3}.$ Ясно, что $2<x_2\leqslant 4 $, т.е. $x_2 \in \{ 3,4\}$.
2.1. $x_2=3$. Тогда $\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{1}{3}.$ $3<x_3\leqslant 6 $. Отсюда четвёрки $\{3,3,4,12\},\{3,3,6,6\}$
2.2. $x_2=4$. Тогда $\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{5}{12}.$ $3<x_3\leqslant 5 $. Отсюда четвёрка $\{3,4,4,6\}.$
3. $x_1=4$. Тут одна четвёрка $\{4,4,4,4\}.$
Считаем НОКи четвёрок, сумма может принимать значения $4k,6k,10k$ - ничего нового.

-- Пн авг 10, 2015 12:02:21 --

Кстати, предыдущими участниками была пропущена четвёрка $\{2,3,3,4\}$

[Andrey A]

Sender в сообщении #1043868 писал(а):

Кстати, предыдущими участниками была пропущена четвёрка $\{2,3,3,4\}$

Красивая. Есть пропорциональные, это ладно. Но у Вас там нечетные суммы фигурируют и даже простые: $24+8+3+2=37$, а $42$ не может делить $42+7+3+2$. Что-то Вы упускаете.

[Sender]

Мои иксы - это игреки из вашего первого сообщения, а не то, что вы подумали.

[Andrey A]

Ага, понял. Меня последняя четверка смутила, она и так и так работает. В итоге - конечное число?

[Sender]

Andrey A в сообщении #1043893 писал(а):

Меня последняя четверка смутила, она и так и так работает

Нет, она получается из моей четвёрки $\{3,4,4,6\}$.

Andrey A в сообщении #1043893 писал(а):

В итоге - конечное число?

Очевидно, да. Это будет верно и для любого другого конечного количества слагаемых.

[Andrey A]

Sender в сообщении #1043897 писал(а):

Нет, она получается из моей четвёрки $\{3,4,4,6\}$.

Да, я просто не разобрался сначала в Вашем посте, все действительно упирается в уравнение

Sender в сообщении #1043868 писал(а):

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=1$

Хотя мысль о конечном кол-ве решений как-то плохо умещается в голове

[maxal]

Sender в сообщении #1043897 писал(а):

Очевидно, да. Это будет верно и для любого другого конечного количества слагаемых.

См. A002966