Разобратся с класификацией функций

[AlekseiX86]

В литературе встречаются функции с приставками "вещественнозначные", "векторные", "скалярного аргумента". Хочу понять как они классифицируются по этим свойствам.
Вообщем я прикинул так :

Множество определения

Скаляры(S)
Вектора(V)

Множество значения

Скаляры(S)
Вектора(V)

Тогда можно классифицировать так

$f:S\rightarrow S$ - вещественнозначная функция скалярного аргумента
$f:V\rightarrow S$ - вещественнозначная функция векторного аргумента
$f:S\rightarrow V$ - векторная функция скалярного аргумента
$f:V\rightarrow V$ - векторная функция векторного аргумента

Правильная ли такая классификация?

[arseniiv]

Неправильная, ибо скаляры бывают не только вещественные. ( )

[AlekseiX86]

А если так тогда:
Пусть $n\in N , n>1$

$f:S \subseteq R \rightarrow S \subseteq R$ - вещественнозначная функция скалярного аргумента
$f:V \subseteq R^{n} \rightarrow S \subseteq R$ - вещественнозначная функция векторного аргумента
$f:S \subseteq R \rightarrow V \subseteq R^{n}$ - векторная функция скалярного аргумента
$f:V \subseteq R^{n} \rightarrow V \subseteq R^{n}$ - векторная функция векторного аргумента

[arseniiv]

С одной стороны, теперь лучше, а с другой — хуже:

1. Хотя бы даже ограничение $n>1$ странновато, т. к. поле само над собой векторное пространство.
2. Допустим, вам нужны только штуки над вещественными числами — хорошо. Но если писать в общем, а особенно если понимать это как определения того, что стоит справа — что обязательно кому-то в такой размытой постановке взбредёт в голову — эти функции надо будет честно называть более конкретными именами, а лучше просто писать формулой, потому что это очень длинно получается, и, к тому же, грамматика русского математического языка не настолько гибка, так что будет ещё длиннее. Если же говорить именно о любых скалярах и векторах, стоит писать что-то вроде такого:

[Контекст: $V$ — линейное пространство над $S$.]

$f\colon V\to S \Leftrightarrow f$ — скалярнозначная функция векторного аргумента.

Но и то это получится ерунда, потому что правое можно понять и как функцию из векторов в «чужие» скаляры (никто не запрещает — у неё даже смысл может быть). Обычно пользуются более специфическими объектами и соответственно и зовут их более специфически, да и контекст там обычно более наполнен чем-то, помогающим разобрать, о чём сыр-бор. Например,

[Контекст: $V$ — линейное пространство над $S$.]

$f\colon V\to S$; $f(u + v) = f(u) + f(v)$ для любых $u, v\in V$; $f(av) = af(v)$ аналогично $\Leftrightarrow f$ — линейная форма [на $V$].

А почто вам классификация, не совсем понятно. Ведь в неё, как минимум, столько интересного не входит!

[AlekseiX86]

arseniiv в сообщении #1043510 писал(а):

А почто вам классификация, не совсем понятно. Ведь в неё, как минимум, столько интересного не входит!

Учу теорию ДУ, некоторые объекты (нормальная система...) вводятся в скалярной форме и векторной. Ну решил формально определить классы функций по векторам и скалярам.

[arseniiv]

Тогда, наверно, и на вещественных векторных пространствах можно остановиться. Но конечные не всегда являются $\mathbb R^n$, даже если изоморфны им. $\mathbb R^n$ может невольно соблазнить наличием компонент «из коробки».

[Hasek]

arseniiv в сообщении #1043532 писал(а):

Тогда, наверно, и на вещественных векторных пространствах можно остановиться. Но конечные не всегда являются $\mathbb R^n$, даже если изоморфны им. $\mathbb R^n$ может невольно соблазнить наличием компонент «из коробки».

Как мне кажется, если автору для диффуров, то всё наоборот:
а) только вещественными ограничиваться нельзя;
б) как раз всё, что в них встретится, суть $\mathbb{R}^n$ или $\mathbb{C}^n$.

[arseniiv]

OK.