пара функциональных соотношений

[sergei1961]

Рассмотрим для функций двух переменных пару соотношений, выполняющихся для всех значений аргумента:

$$ f(x,y)=-f(y,x) \eqno(1), $$

$$ f(x,y)+f(y,z)=f(x,z) \eqno(2). $$

Вопрос 1: эти соотношения независимы? Если да, то привести примеры функций, когда одно соотношение выполнено, а второе-нет.
Вопрос 2: верно ли, что все решения, удовлетворяющие (1)--(2), имеют вид $f(x,y)=h(x)-h(y)$ с некоторой функцией $h$.

Интересуют только хорошие решения, пусть, например, непрерывные.

[Vince Diesel]

На последний вопрос, по крайней мере для гладких функций, ответ да. Дифференцируя второе уравнение по $x$, получим $f'_x(x,y)=f'_x(x,z)$. В силу произвольности $y$ и $z$ обе части не зависят от второго аргумента: $f'_x(x,y)=g(x)$. Интегрируя, получим $f(x,y)=h(x)+v(y)$. Из первого уравнения $f(x,x)=0$ и $v(x)=-h(x)$.

[grizzly]

sergei1961 в сообщении #1043312 писал(а):

Вопрос 1: эти соотношения независимы? Если да, то привести примеры функций, когда одно соотношение выполнено, а второе-нет.

Какая-нибудь нечётная функция от аргумента $x-y$? Например, $f(x,y)=(x-y)^3$. Или я что-то не уловил?

[sergei1961]

Всё оказалось совсем просто, а я не мог додуматься. Спасибо.

-- 07.08.2015, 20:17 --

Решение $f(x,y)=h(x)+v(y)$ отдельно для второго уравнения самого по себе- у меня как-то не подставляется...
Или из второго всё-таки следует первое? То, что из первого не следует второе, я понял.

[Vince Diesel]

sergei1961 в сообщении #1043323 писал(а):

Решение $f(x,y)=h(x)+v(y)$ отдельно для второго уравнения самого по себе- у меня как-то не подставляется...
Или из второго всё-таки следует первое?

Вроде да. Подстановка этого выражения для $f$ в (2) дает $h(y)+v(y)=0$.

[grizzly]

Чтобы из (2) получить (1), лучше сделать так:
Пусть дано (2). Тогда при $y=z=x$ имеем $2f(x,x)=f(x,x)$ и $f(x,x)=0$. Тогда снова из (2) при $z=x$ получим $f(x,y)+f(y,x)=f(x,x)=0$, что есть (1).

[sergei1961]

Спасибо. Здорово.