Интеграл

[Tarn]

Здравствуйте,
Возникла проблема с интегралом
\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{(R^2+z^2+r^2)^{\frac{\alpha}{2}}(z^2+r^2)^{\frac{\beta}{2}}}dz, $\alpha,\beta\geqslant 0$

\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{(R^2+z^2+r^2)^{\frac{\alpha}{2}}(z^2+r^2)^{\frac{\beta}{2}}}dz=(r^2)^{-\beta/2+1} (r^2+R^2)^{-\alpha/2}\int\limits_0^{\infty} (1+y)^{-\beta/2}(1+yz)^{-\alpha/2}y^{-1/2}dy
$ z=\frac{r^2}{r^2+R^2}$
А вот дальше я не знаю, что делать.

[Dan B-Yallay]

Tarn в сообщении #1043168 писал(а):

$$\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{(R^2+z^2+r^2)^{\frac{\alpha}{2}}(z^2+r^2)^{\frac{\beta}{2}}}dz=(r^2)^{-\beta/2+1} (r^2+R^2)^{-\alpha/2}\int\limits_0^{\infty} (1+y)^{-\beta/2}(1+yz)^{-\alpha/2}y^{-1/2}dy $$

$$ z=\frac{r^2}{r^2+R^2}$$

А вот дальше я не знаю, что делать.

Какая-то замысловатая замена переменной. Пояснения будут?

[Tarn]

Прошу прощения. Я перепутал при наборе

$$\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{(R^2+z^2+r^2)^{\frac{\alpha}{2}}(z^2+r^2)^{\frac{\beta}{2}}}dz=(r^2)^{-\beta/2+1} (r^2+R^2)^{-\alpha/2}\int\limits_0^{\infty} (1+y)^{-\beta/2}(1+ay)^{-\alpha/2}y^{-1/2}dy $$

$$ a=\frac{r^2}{r^2+R^2}$$

[Tarn]

Я свел его к гипергеометрической функции. Тему можно закрывать