три диска

[grizzly]

Dan B-Yallay в сообщении #1043125 писал(а):

Если бы (при тех же прочих условиях) колёса были одинаковой массы или неоднородными, задача решалась бы по-другому?

Ну если неоднородными, то в общем случае ответ был бы другой. Очевидно, что можно подобрать такую неоднородность верхнего диска, что он не свалится на пол даже если один из нижних углов треугольника тупой.

[Dan B-Yallay]

Ну, это вырожденная ситуация, если я правильно понимаю. Хорошо, пусть однородные.
А то, что массы разные - имеет какое-то значение?

[grizzly]

Даже не знаю. Я обычно не участвую в обсуждении физических задач (это для меня сложнее, чем интереснее), но предпочёл бы видеть рассмотренными все случаи, как это делают математики. Например, может ведь быть, что $r>R+\rho$? Как тогда поведёт себя система? Зависит ли поведение от массы и от деталей расположения? достаточно ли для доказательства в таких хитрых расположениях только рассуждений, приведенных в ветке? я во всём этом не уверен -- моя интуиция отмалчивается.

Впрочем, в условии сказано, что диски расположены как на рисунке. Значит ли это, что упомянутые мной хитрые варианты не нужно рассматривать? Наверное, значит, но я и в этом не уверен.

[Oleg Zubelevich]

Посчитаем количество степеней свободы системы. Уберем пол. Положение диска $R$ определяется тремя параметрами: двумя координатами центра масс и углом поворота. Положение диска $r$ относительно диска $R$ определяется одним параметром, тоже и с диском $\rho$. Получилось пять степеней свободы. Вернем пол. Условие непроскальзывания по полу это по два уравнения для двух дисков. Пять степеней свободы-четыне уравнения =1. Из этого следует, что единсственно возможным движением является то, что назвал amon. Высота центра масс не меняется, поэтому система либо покоится либо движентся так, что центры дисков имеют все одинаковую постоянную скорость. От масс и радиусов этот вывод не зависит ,во всяком случае пока связи не рвутся или новые не добавляются .
Если предположить, что один из дисков неоднороден так, что его центр масс не совпадает с геометрическим центром, мы получим обычную лагранжеву систему с одной степенью свободы, с периодическим потенциалом. Там будут колебательные режимы и все остальное, что полагается.

[Dan B-Yallay]

Oleg Zubelevich в сообщении #1043151 писал(а):

Если предположить, что один из дисков неоднороден так, что его центр масс не совпадает с геометрическим центром, мы получим обычную лагранжеву систему с одной степенью свободы, с периодическим потенциалом. Там будут колебательные режимы и все остальное, что полагается.

Да. Я почему-то уперся в радиальную неоднородность и остальное упустил.

[amon]

grizzly в сообщении #1043127 писал(а):

один из нижних углов треугольника тупой.

Если мы считаем связи неразрывными (диски "примагничены" друг к другу и к полу), то ничего, кроме вышеописанного не произойдет, какие бы углы не были. Если связи можно разрывать (об этом в условии ничего не сказано, но по физике это естественно), то Вы правы, тут надо аккуратно, но, IMHO, это будет другая задача.

[grizzly]

Oleg Zubelevich
И всё же, просьба ещё прокомментировать для самых глупых и ленивых. Вот такой вариант задачи входил в условие или нет (центры дисков находятся на одной прямой)?



Если это легитимный вариант, то вопрос: распространяется ли Ваше решение и на этот случай?
Если нелегитимный, другой вопрос: выпадет ли средний диск и от чего это зависит? (просто любопытно)

[dovlato]

А я, кажется, доказал с 4-мя окружностями. Утверждение такое:
Пусть центры вращающихся колёс с радиусами $r,\quad\rho$ находятся на концах жёсткого стержня с длиной $a$.
Тогда возможно одновременное прикосновение к ним сверху и снизу двух других окружностей, без проскальзывания.
Для доказательства перейдём в систему отсчёта K, связанной со стержнем $a$.
Для начала приведём в соприкосновение оба колеса сверху с произвольной достаточно большой окружностью радиуса $R_1$. Ясно, что это возможно.
После этого соприкосновения в системе К все крайние точки всех трёх колёс будут иметь скорости одинаковой величины.
Но отсюда следует, что теперь снизу к первым двум дискам может прикасаться четвёртое колесо с произвольным достаточно большим радиусом $R_2$.
Причём колёса с радиусами $R_1$ и $R_2$ могут касаться как внешним, так и внутренним образом.
Однозначность доказывается точно так же, как это сделал Oleg Zubelevich.
Кстати, отсюда следует, что задача grizzly имеет решение. Но открыт вопрос о его устойчивости.

[Oleg Zubelevich]

grizzly в сообщении #1043163 писал(а):

Если это легитимный вариант, то вопрос: распространяется ли Ваше решение и на этот случай?

да распространяется

grizzly в сообщении #1043163 писал(а):

выпадет ли средний диск и от чего это зависит?

идеальная связь по определению состоит в том, что средний диск не выпадет, это просто часть условия задачи. а при каких условиях он может выпасть -- это совсем другая история и другая постановка задачи со своими специальными гипотезами, которые могут быть разными и которые здесь вообще не обсуждались и т.д. Я это не проверял, но мне сдается, что задача статическии неопределима т.е. найти реакции идеальных связей невозможно

[grizzly]

Oleg Zubelevich
Спасибо за разъяснения -- примерно прояснилось. Я понимаю, что недостаточно владею базовой терминологией (или соответствующим контекстом), зато мне тоже было интересно

[Munin]

amon в сообщении #1043122 писал(а):

А чем Вам рассуждение с зубцами не нравится?

Апелляцией к интуиции, которая не у всех настолько развита. Вот это:

Oleg Zubelevich в сообщении #1043151 писал(а):

Получилось пять степеней свободы. Вернем пол. Условие непроскальзывания по полу это по два уравнения для двух дисков. Пять степеней свободы-четыне уравнения =1.

- выглядит намного яснее.

grizzly в сообщении #1043163 писал(а):

Если это легитимный вариант, то вопрос: распространяется ли Ваше решение и на этот случай?
Если нелегитимный, другой вопрос: выпадет ли средний диск и от чего это зависит? (просто любопытно)

Можно даже сделать средний диск ниже прямой, соединяющей центры крайних.
Просто есть условие, что диски касаются друг друга. Можете считать, что между их осями добавлены стержни с шарнирами - они не дадут дискам оторваться друг от друга.

[Батороев]

Munin в сообщении #1043171 писал(а):

Просто есть условие, что диски касаются друг друга. Можете считать, что между их осями добавлены стержни с шарнирами - они не дадут дискам оторваться друг от друга.

Если бы такие стержни были, то задача была бы тривиальной. Посчитаем, что стержни закреплены, а земля подвижна - получим рольганг.

В рассматриваемой же задаче, на мой взгляд, сложнее. Т.к. оси дисков свободны, то принцип относительности уже не "прокатит". А вот направление векторов скоростей точек касания дисков (при мгновенных центрах скоростей на земле) не совпадают с теми векторами скоростей центрального диска, которые должны были бы соответствовать его вращению по первой схеме. Т.е. при движении этот диск потянет куда-то - или вверх, или вниз. Отсюда сомнения - сдвинется ли система вообще?

[Munin]

Батороев в сообщении #1043257 писал(а):

Если бы такие стержни были, то задача была бы тривиальной. Посчитаем, что стержни закреплены, а земля подвижна - получим рольганг.

Нет, не закреплены, между $r$ и $\rho$ "стержня" нет.

[bondkim137]

А где в условии задачи написано, что связи неразрывны? невозможность проскальзывания и неразрывность - вещи разные. Шестеренки проскальзывать не умеет, но разорвать их можно. Более того, даже если их разорвать нельзя, но хотя бы от пола оторвать можно - то при малом $r$, большом, но легком $\rho$ и тяжелом $R$ конструкция может опрокинуться влево, если центр тяжести $R$ будет левее $r$.

[Munin]

bondkim137 в сообщении #1088878 писал(а):

А где в условии задачи написано, что связи неразрывны?

В слове "идеальные". Если вы не знаете терминологии - то подите и ознакомьтесь.