три диска

[Oleg Zubelevich]

Три однородных диска раиусами $R,r,\rho$ и массами $M,m,\mu$ соответственно поставлены на горизонтальную плоскость так как показано на рисунке



Проскальзывание между любыми двумя дисками и между дисками и плоскостью невозможно. Описать качественно дальнейшее движение системы, если известно, что в начальный момент времени скорости всех точек равны нулю. Упадет ли диск $R$ на пол?

[amon]

Ехал с дачи, делать было нечего. Вспомнил эту задачу. По-моему, она решается без единой формулы. Повернем мысленно колесо $R$. По колесам $r$ и $\rho$ "прокатятся одинаковые длины дуг колеса $R$" (надеюсь, понятно, что хотел сказать) тогда колеса $r$ и $\rho$ сдвинутся на одинаковое расстояние, и $a$ оказывается неизменным. Специально не проверял на бумажке. Интересно, соврал или нет?

[Oleg Zubelevich]

не, не соврали

[dovlato]

Ну да, если $R$ вращается с угл. скоростью $\omega$, то в СО, связанной с центром диска $R$, скорости нижних точек двух нижних дисков одинаковы и равны $v= - R\omega$.
И, значит, система находится в безразличном равновесии. Красиво.
И мало того, $a=\operatorname{const}$, если заменить плоскость на большую окружность, с выпуклостью любого знака.

[kp9r4d]

amon в сообщении #1042524 писал(а):

Повернем мысленно колесо $R$.

Можете сказать, как именно нужно повернуть? Не очень понятно

[rockclimber]

kp9r4d в сообщении #1042938 писал(а):

amon в сообщении #1042524 писал(а):

Повернем мысленно колесо $R$.

Можете сказать, как именно нужно повернуть? Не очень понятно

Вокруг оси, как же еще. Если вы про направление, то направление может быть любое.

[amon]

kp9r4d в сообщении #1042938 писал(а):

Можете сказать, как именно нужно повернуть?

Я сидел за рулем автомобиля и представил, что руль - это колесо $R$, к нему присобачены два других колесика. После этого как-то мгновенно сообразилось, куда и как поедет эта конструкция при повороте руля.

[Munin]

amon
А можно услышать доказательство, что это единственная степень свободы системы?

[amon]

Munin в сообщении #1043027 писал(а):

А можно услышать доказательство, что это единственная степень свободы системы?

Вообще-то то, что я подсунул, не решение, а правдоподобные рассуждения, из которых настоящее решение еще извлекать надо. Аналогичное (не строгое) рассуждение про число степеней свободы такое. Взаимное положение дисков фиксируется условием того, что они касаются друг друга и величиной $a$ (треугольник задается тремя сторонами). Кроме того, есть еще положение центра масс, оно же (по условиям связи без проскальзывания) - угол поворота любого диска. Так что у задачи со связями две степени свободы. При этом $a$ из чистой кинематики оказывается "интегралом движения". Хорошая задачка для разминания затекших мозгов - знать ничего не надо.

[Munin]

amon в сообщении #1043096 писал(а):

При этом $a$ из чистой кинематики оказывается "интегралом движения".

Вот я бы хотел это услышать.

[grizzly]

amon
Я понял Ваше качественное описание так, что данная система со старта тут же выйдет из равновесия и придёт в движение, но при этом большой диск не свалится на пол? Мне почему-то сложно такое представить. Я могу себе представить движение в этой системе только в том случае, если один из нижних углов треугольника тупой. Но тогда как раз верхний диск свалится на пол.
Если же в ситуации как на картинке система не придёт в движение (и таковым будет качественное описание её поведения), тогда непроваливаемость верхнего диска должна следовать и без рассуждений о его (несуществующем) вращении.
Это чисто интуитивные представления, но если я ошибаюсь, я очень хотел бы подлечить свою интуицию.

И ещё вопрос.
Подскажите мне, пожалуйста, можно ли в этой и подобных задачах условие про невозможность проскальзывания условно представлять себе как наличие некой зубчатой передачи между элементами конструкции? Или это неравносильные условия?

[amon]

grizzly в сообщении #1043105 писал(а):

можно ли в этой и подобных задачах условие про невозможность проскальзывания условно представлять себе как наличие некой зубчатой передачи

Это хорошая мысль. С ее помощью, глядишь, и на это:

Munin в сообщении #1043100 писал(а):

Вот я бы хотел это услышать.

можно почти строго ответить. Мы исследуем устойчивость системы, т.е. смотрим где минимум ее энергии и не хочет ли система в этот минимум свалиться. Два нижних колеса ни на что не влияют, и все, что система может сделать - "опустить" верхнее колесо. Для этого нижним колесам надо разъехаться в стороны. Пусть на колесах зубцы, и на горизонтальной "рейке" тоже. Предположим, что левое нижнее колесо ($r$) съехало вправо "на три зуба", повернувшись по часовой стрелке. Колесо $R$ обязано повернуться на три зуба против часовой, но тогда оно повернет колесо $\rho$ на те же три зуба по часовой - деваться ему некуда. Значит колеса $r$ и $\rho$ сдвинутся вправо на одинаковое расстояние, значит расстояние $a$ не поменяется, т.е., как бы мы колеса не крутили "кинематика зацеплений" не позволит изменить это расстояние. Значит система находится в безразличном равновесии. Если в начальный момент колеса не крутились, то они и не будут крутиться, если крутились - поедут себе куда глаза глядят, но колесо $R$ расстояние до поверхности не поменяет никогда. Если позволить дискам проскальзывать, то все станет существенно сложнее, и, боюсь, на пальцах уже не решится.

grizzly в сообщении #1043105 писал(а):

Если же в ситуации как на картинке система не придёт в движение тогда непроваливаемость верхнего диска должна следовать и без рассуждений о его вращении.

Если бы диск $R$ мог проваливаться, то система могла бы сама поехать за счет "перегонки потенциальной энергии в кинетическую".

[Munin]

amon в сообщении #1043120 писал(а):

Колесо $R$ обязано повернуться на три зуба против часовой, но тогда оно повернет колесо $\rho$ на те же три зуба по часовой - деваться ему некуда.

Не считается.

[amon]

Munin в сообщении #1043121 писал(а):

Не считается.

Можно уравнения связей разрешать, все получится, но тогда пропадет красота пальцевого решения. А чем Вам рассуждение с зубцами не нравится?

[Dan B-Yallay]

Oleg Zubelevich в сообщении #1042331 писал(а):

Три однородных диска раиусами $R,r,\rho$ и массами $M,m,\mu$

Если бы (при тех же прочих условиях) колёса были одинаковой массы или неоднородными, задача решалась бы по-другому?