ранг блочной матрицы

[mthmtcn]

Возникла такая задача:
У меня есть матрица $M$ полного ранга $m$, матрица двоичная, все операции мы выполняем в поле $GF(2)$.
Теперь я заменяю каждую единицу такой матрицы на произвольные матрицы перестановок $P_{ij}$ размера $p$, а нули - соответственно на нулевые матрицы размера $p$. Как мне доказать, что ранг расширенной таким образом матрицы будет равен $pm$?
Как я понимаю, если бы все $P_{ij}$ совпадали, то это было бы обыкновенным кронекеровским произведением и было бы все просто, а как следует поступить в данном случае?

[iancaple]

mthmtcn в сообщении #1042923 писал(а):

Как мне доказать, что ранг расширенной таким образом матрицы будет равен $pm$?

Это неверно, по крайней мере начиная с $m=3,p=3$ (меньшего примера подобрать не удалось). На скрине прототип М-сверху, ранг 3. При замене единиц на блоки ранг полученной снизу матрицы $9\times 9$ уже меньше 9

Мне показалось, какое-то значение имеет четность примененных перестановок, из одних четных пример собрать тоже не удалось.