Пропагатор для фермионов: как возникает минус?

[Ascold]

Интересует в следующем выводе переход от (5.27) с учётом (5.29) к (5.28) http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/five.pdf
А именно, как при действии оператором $p$ перечёркнутым на второе слагаемое $D(y-x)$ возникает минус? Что такое оператор slash знаю, но не вижу, почему при действии на первую экспоненту знак сохраняется, а на вторую - меняется.

[ИгорЪ]

Оператор импульса - производная по $x$, а во втором слагаемом производная берется от $D(y-x)$

[Ascold]

Так она же не вычислена, эта производная, просто значком $\not\partial_x$ обозначено, что её будут вычислять, т.е. минус соответствующий ещё не появился . Вообще, получается так:
$\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2E_p}[(\not{p}+m)e^{-i(x-y)}+(\not{p}-m)e^{i(x-y)}]=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3 2E_p}[(-i\gamma^\mu \frac{\partial }{\partial{x^\mu}}+m)e^{-i(x-y)}+(-i\gamma^\mu \frac{\partial }{\partial{x^\mu}}-m)e^{i(x-y)}]=i\gamma^\mu\partial_\mu(-\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2E_p}e^{-i(x-y)}-\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2E_p}e^{i(x-y)})+m(\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2E_p}e^{-i(x-y)}-\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2E_p}e^{i(x-y)})=-i(\not\partial_xD(x-y)+\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2E_p}[(\not{p}+m)e^{-i(x-y)}+(\not{p}-m)e^{i(x-y)}]=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3 2E_p}[(-i\gamma^\mu \frac{\partial }{\partial{x^\mu}}+m)e^{-i(x-y)}+(-i\gamma^\mu \frac{\partial }{\partial{x^\mu}}-m)e^{i(x-y)}]=i\gamma^\mu\partial_\mu(-\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2E_p}e^{-i(x-y)}-\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2E_p}e^{i(x-y)})+m(\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2E_p}e^{-i(x-y)}+\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2E_p}e^{i(x-y)})=-i\not\partial_x[D(x-y)+D(y-x)]+m[D(x-y)-D(y-x)]\neq i\not\partial_x[D(x-y)-D(y-x)]+m[D(x-y)-D(y-x)]$.
Хотя есть мысль: в производную по какому набору координат должен превращаться оператор импульса, по $x$ или по $y$, т.е. по начальным или конечным координатам дифференцировать, если строго по конечным(ищем же амплитуду перехода из $y$ в $x$)? Если строго по конечным и учесть, что $D'_y(y-x)=-D'_x(y-x)$, то тогда будет почти то, что надо, с точностью до знака. Непонятно.
Ещё странно, что в разных частях сообщения $\not{p}$ по-разному отображается.

[Munin]

(Оффтоп)

Ascold в сообщении #1042883 писал(а):

И ещё: как в форуме писать красиво slash p? $\not p$ не так смотрится.

На форуме, видимо, проще всего как в Википедии:
https://en.wikipedia.org/wiki/Feynman_slash_notation

p\!\!\!/ - $p\!\!\!/$

Также в TeX.SE
TeX.SE: What's the most elegant way to obtain Dirac operators? (slash notation)
предлагается

\mathrlap{\!\not{\phantom{#1}}}#1

где #1 - нужная вам буква.

И наконец, я ещё давно привёл на форуме вариант
Пара "хаков" (некоторые работают только на форуме)

\rlap{\(/\)}p $\rlap{\(/\)}p$

[Ascold]

Да, насчёт оператора импульса $p$: $p_\mu=-i\partial/\partial x^\mu$, именно с минусом и контрвариантной координатой $x^\mu$, подобно тому, как в нерелятивистской КМ, я, вроде, ничего не попутал?

[Walker_XXI]

Ascold в сообщении #1042883 писал(а):

Вообще, получается так:

Формулы у Вас переписаны с ошибками - Вы в импульсном представлении собственно импульс потеряли. (Кстати, $\gamma$-матрицы в контексте Вашего вопроса ничего существенного не добавляют и потому явно выписывать их не было никакой необходимости). Путаница со знаками в Вашей формуле уже после первого равенства: во втором слагаемом, при замене $p\!\!\!/$ на $\not\!\partial_x$ должен появиться ещё один знак минус, т.к. в показателе экспоненты оного нету.

Ascold в сообщении #1042883 писал(а):

в производную по какому набору координат должен превращаться оператор импульса, по $x$ или по $y$

А это не имеет большого значения, если правильно знаки расставить. В тексте по Вашей ссылке в формуле (5.28) явно указано, что дифференцирование по $x$.

[Ascold]

Пардон, потерял $p$ в экспонентах. Конечно же, речь идёт о вычислении

$$\int\frac{d^3p}{(2\pi)^32E_p}[(p\!\!\!/+m)e^{-ip(x-y)}+(p\!\!\!/-m)e^{ip(x-y)}]$$

Цитата:

Путаница со знаками в Вашей формуле уже после первого равенства: во втором слагаемом, при замене $p\!\!\!/$ на $\not\!\partial_x$ должен появиться ещё один знак минус, т.к. в показателе экспоненты оного нету.

Видимо, я не до конца понимаю о связи между представлениями. Вот мы от импульсного представления переходим к координатному, $p\!\!\!/$ превращается в $-i\partial\!\!\!/_x$, как при этом могут возникать доп. минусы в зависимости от функции, на которую действует оператор импульса?
Или же нельзя смотреть на эти экспоненты как просто на функции, на которые действует дифф. оператор, а речь о том, что первому, "положительно-частотному" слагаемого соотв.импульс $p$, тогда второму - импульс $-p$ и в коорд. представлении из-за этого тоже минус появится?

[Walker_XXI]

Ascold в сообщении #1042930 писал(а):

Видимо, я не до конца понимаю о связи между представлениями. Вот мы от импульсного представления переходим к координатному, $p\!\!\!/$ превращается в $-i\partial\!\!\!/_x$

Связь между представлениями - это обычное преобразование Фурье (наличие матриц в операторах, как я уже писал, в данном случае ничего существенно не меняет). Для простоты рассмотрите обычное одномерное дифференцирование по $x$, примените его к пропагатору (тоже одномерному и скалярному) и увидите, как производная от экспоненты превращается в умножение на $p$ (точнее, на коэффициент перед $x$ в показателе экспоненты). Тогда и со знаками разберётесь.

-- 06.08.2015, 04:51 --

Другими словами, подставьте в (5.28) пропагатор (5.29) и честно посчитайте производную. Для понимания нужны именно честные расчёты (они элементарны), а не формальные подмены операторов, которые не во всех случаях срабатывают. Вы знакомы с операционным исчислением, применением преобразования Фурье для решения диффуров? Вот тут ровно то же самое.

[Ascold]

ОК, я, кажется, понял. Полное фурье-разложение писать длинно, а если кратко, то основная идея: из импульсного представления произведения

$$pe^{ip(x-y)}$$

получим дифференцированием экспоненты

$$pe^{ip(x-y)}=\frac{1}{i}\frac{\partial{e^{ip(x-y)}}}{\partial{x}}=-i\partial_xe^{ip(x-y)},$$

что и требовалось доказать.

[Walker_XXI]

Да, именно так. И, рассмотрев аналогично все слагаемые с экспонентами, получим как раз те знаки перед пропагаторами, что указаны в формулах учебника.