Известная задача с изменениями

[rightways]

Найдите все пары натуральных чисел $(a,b)$ для которых существуют натуральные $x$ и $y$ такие, что $|ax-by|=1$ и $x,y\le min\{a,b\}$.

[rightways]

ну че там

[Deggial]

rightways, замечание за бессодержательное сообщение

[ex-math]

Их очень много. Возьмите любые натуральные взаимно простые $x,y$, решите диофантово уравнение относительно $a,b$, и получите бесконечно много натуральных решений.

[rightways]

Нет, вы неправильно поняли задачу. Возьмем например $a=3$, $b=11$. Тогда $x,y$ удовлетворяющих условию не существует.

[nnosipov]

Хочется написать что-нибудь типа $a<b \leqslant a^2+1$, но это же неверно. Есть ли здесь простое описание этих пар $(a,b)$?

А что за известная задача?

[rightways]

Я имею ввиду такую задачу (точнее это даже теорема):
Если $a,b-$ любые фиксированные взаимно простые натуральные числа, то существуют натуральные $x$ и $ y$ такие, что $ax-by=1$.

но а в этой задаче есть дополнительное условие для $x,y$: $x,y\le min \{a,b \}$. И надо найти для каких $ a $ и $b$ такие $(x,y)$ существуют .

[Andrey A]

rightways в сообщении #1042352 писал(а):

... есть дополнительное условие для $x,y$: $x,y\le min \{a,b \}$

Можно указать граничное условие: $y=b$ при $b^2\equiv \pm 1\mod a$. Тогда цепная дробь $a/b$ симметричная. Если для фиксированного $a$ рассматривать все вз. простые $b<a$, то случаев да/нет будет поровну (замена $b\leftrightarrow y$ даёт обратный результат). Если под дробью $a/b=u_1,u_2,u_3,...,u_{n}$ расположить зеркальную дробь $u_{n},...,u_3,u_2,u_1,$, и первый превышающий знак окажется сверху, то да. Вроде бы так. Вряд ли это можно знать заранее.

[ex-math]

rightways
Я имел в виду то, что таких пар очень много. Их можно генерировать тоннами. Если действительно существует способ лаконично их описать, это будет очень интересно.