Численный расчёт запаса продуктивности любой матрицы

[eugira]

Существует ли какая-либо методика расчёта запаса продуктивности матрицы произвольного порядка?
Для применения эквивалентного критерия неотрицательности элементов обратной матрицы
B=(E-\lambda A)^{-1}
Нужно уметь обращать эту матрицу как lamba-матрицу – это нестандартно.
Удобный подход положив
\lambda=1/\mu
использовать тождество
E-\lambda A=-(A-\mu E)/\mu
При этом в числителе фактически – характеристическая матрица системы и в частности для вычисления определителя или даже коэф-тов характеристич уравнения можно использовать стандартные программы, например leq. Но это только менее половины дела.
Из проблемы собственных значений определим только ближайший >1 корень \lambda а как быть с неотрицательностью элементов обратной матрицы –только при N=2 все просто а при N>2 прийдётся считать алгебраич дополнения? -это трудоемко.
Может поможет комбинированный численный метод :
диапазон от 1 до \lambda=\lambda min разбиваем на малые интервалы и для каждого вычисляем обратную матрицу. В случае 1-го получения какого-либо отрицательного ее элемента это и будет запасом продуктивности.
Но это опять - надо писать программу. Кстати в Excel нет готовых и простых средств даже для получения коэффициентов характеристического уравнения - для каждого шага итерации
надо рассчитывать матрицы, определять обратные копированием формул - длинно и трудоёмко. На Маткаде аналогично.
Кстати-то вроде и сам вопрос о прикладном смысле математического понятия "запас продуктивности" спорен. Некоторые говорят, что эмпирически полученные матрицы модели Леонтьева и так всегда продуктивны, чего ещё и огород городить?

[нг]

eugira
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).