Из "Неравенства (одно-двухходовки)"

[TR63]

Lia: Отделено из «Неравенства (одно-двухходoвки)»

grizzly в сообщении #1041035 писал(а):

И теперь меня гложет интерес про более сильное неравенство -- доказано оно уже или нет:

$$ \dfrac{4}{a^{-a}+b^{-b}}\ge a^b+b^a, \qquad a,b\in (0;1) $$

Технология составления этого неравенства понятна. (Для частного случая у меня получается другой знак; надо проверять знак составленного неравенства хотя бы в одной точке. grizzly, у Вас есть пример, подтверждающий знак Вашего неравенства или это опечатка.)
Перепишем исходное неравенство для положительных переменных в виде:
$(a^b+b^a)(a^a+b^b)\ge 4a^ab^b$
$a+b\le 1$, $a\ge b$, $a=0.66$, $b=0.33$
Присоединяюсь. Очень интересно, верно ли неравенство или есть контрпример.

[TR63]

Есть сомнения по поводу технологии составления неравенства. Отсюда сомнения по поводу гарантии непрерывности неравенства относительно знака. (Пока нужной технологии не вижу.)

[grizzly]

TR63 в сообщении #1042168 писал(а):

grizzly, у Вас есть пример, подтверждающий знак Вашего неравенства или это опечатка.

Ваше утверждение верно Более того, верна его первая часть -- у меня есть много примеров. Для примера, в качестве $a$ можете взять любое число от 0 до $\approx 1,6213..$, а в качестве $b$ -- любое число из того же интервала.

Не думаю, что нам с Вами по силам бороться с такими неравенствами. Я даже думаю, что теперь это будет около 1001-е неравенство, которое не умеет доказывать ТС

[TR63]

grizzly,
я плохо поняла Ваш ответ. Хочу уточнить.
Я поняла так, что Вы согласны, что нарушена технология составления неравенства (возможно, Вы не знаете, о какой технологии идёт речь). Далее, что у Вас нет контрпримера к неравенству с изменённым мною знаком. Далее, предлагаете проверять численно (полагаю, что это шутка, т.к. в таком рассуждении нет ни какой технологии; я подразумевала совсем иное). Далее, я из Вашего ответа поняла, что Вы считаете интуитивно, что неравенство с изменённым знаком верно, а доказать, хотя бы гипотетически (основываясь на какой-нибудь гипотезе), не можете.
Лично я не собираюсь ни с чем бороться. Просто, проверяю свою гипотезу. Пока всё сходится.

[grizzly]

TR63
Вы почти во всём правы. Ниже я прокомментирую ещё подробнее в более чётких выражениях.

TR63 в сообщении #1042201 писал(а):

я плохо поняла Ваш ответ.

Верно.

TR63 в сообщении #1042201 писал(а):

возможно, Вы не знаете, о какой технологии идёт речь

Да, я не знаю о какой технологии идёт речь.

TR63 в сообщении #1042201 писал(а):

Далее, что у Вас нет контрпримера к неравенству с изменённым мною знаком.

Я теперь совсем не понимаю, о каком неравенстве Вы говорите. Поэтому пока будем считать, что Вы правы и что у меня к нему пока нет контрпримера.

TR63 в сообщении #1042201 писал(а):

Далее, предлагаете проверять численно (полагаю, что это шутка, т.к. в таком рассуждении нет ни какой технологии; я подразумевала совсем иное).

Частично верно. Вы просили пример, подтверждающий знак моего неравенства. Примеры в данном случае лучше всего проверять численно. Я привёл Вам много примеров. Это не была шутка.

TR63 в сообщении #1042201 писал(а):

Далее, я из Вашего ответа поняла, что Вы считаете интуитивно, что неравенство с изменённым знаком верно, а доказать, хотя бы гипотетически (основываясь на какой-нибудь гипотезе), не можете.

Вот здесь Вы поняли неверно. Верно будет так: я считаю интуитивно, что предложенное мной неравенство верно, но доказать его не могу.

[TR63]

Ситуация для меня немного проясняется.

grizzly в сообщении #1042205 писал(а):

я считаю интуитивно, что предложенное мной неравенство верно, но доказать его не могу.

grizzly,
я преобразовала Ваше неравенство к виду (это моё неравенство):

TR63 в сообщении #1042168 писал(а):

Перепишем исходное неравенство для положительных переменных в виде:
$(a^b+b^a)(a^a+b^b)\ge 4a^ab^b$
$a=0.66$, $b=0.33$

Для указанных чисел оно верно.

TR63 в сообщении #1042168 писал(а):

grizzly в сообщении #1041035

писал(а):
И теперь меня гложет интерес про более сильное неравенство -- доказано оно уже или нет:

$$ \dfrac{4}{a^{-a}+b^{-b}}\ge a^b+b^a, \qquad a,b\in (0;1) $$

Ваше неравенство имеет после преобразований вид:
$(a^b+b^a)(a^a+b^b)\le 4a^ab^b$

Прошу проверить преобразование (у Вас получается другой знак)

[grizzly]

TR63
Теперь я Вас понял. После верного преобразования Вы получили верное неравенство:

TR63 в сообщении #1042208 писал(а):

Ваше неравенство имеет после преобразований вид:
$(a^b+b^a)(a^a+b^b)\le 4a^ab^b$

А после того, как поменяли в нём знак, оно стало неверным.
Для выбранных Вами значений $a$ и $b$ получим:
$(a^b+b^a)(a^a+b^b)\approx 2.0\le 2.1 \approx 4a^ab^b$.

Пожалуйста, постарайтесь самостоятельно найти у себя ошибку, а модераторов давайте попросим весь это наш диалог удалить из темы.

-- 02.08.2015, 17:22 --

TR63
Я теперь боюсь, что этот разговор может затянуться. Если у Вас есть калькулятор, я попросил бы Вас просто подставить Ваши значения в моё, ещё не преобразованное, неравенство. Вам станет намного проще признать факт своей ошибки, а найти её тогда уже не составит для Вас труда.

[TR63]

Ошибку нашла (пропустила точку; она такая мелкая). Получилось: $-0.142113$. grizzly, прошу извинить, что из-за меня Вам пришлось заняться арифметикой. Зато лишний раз подтвердилось наличие технологии составления неравенств. Но, поскольку Вам это неинтересно, то я не буду об этом писать. Тем более, что об этом я писала в других темах.