3-й (областной) этап XXXIV всерос. мат. олимпиады школьников

[Hypokeimenon]

продолжение

III этап, 2007-2008 учебный год. Второй день
УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
8 класс

8.5. Числа $a, b, c$ и $d$ таковы, что $(a - b)(b - c)(c - d)(d - a) < 0$. Число $b$ — наибольшее из $a, b, c$ и $d$. Определите, какое из чисел $a, b, c$ и $d$, — третье по величине. (И. Рубанов)

8.6. Лестница насчитывает $2008$ ступенек, на каждой из них написано одно из чисел $-2, -1, 1$ или $2$. Число на ступеньке указывает, на сколько ступенек следует с нее шагнуть (вверх, если число положительное, или вниз, если число отрицательное). Известно, что с какой бы ступеньки ни начинался путь, он не выйдет за пределы лестницы и обязательно пройдет через верхнюю ступеньку. Может ли сумма всех чисел на ступенькях быть отрицательной? (М. Мурашкин)

8.7. На сторонах треугольника $ABC$ отмечены точки: $L$ на $BC$, $M$ на $CA$, и $N$ на $AB$. Через точку $L$ проведены две прямые: $l_c \parallel AB$ и $l_b \parallel AC$. Аналогично через точку $M$ проведены прямые $m_a \parallel BC$ и $m_c \parallel AB$, а через точку $N$ — прямые $n_b \parallel AC$ и $n_a \parallel BC$. Докажите, что если прямые $m_a, n_b$ и $l_c$ пересекаются в одной точке, то прямые $m_c, n_a$ и $l_b$ образуют треугольник, равный $ABC$.(Л. Емельянов)

8.8. На окружности отмечены $2n \ge 6$ точек, делящих её на равные дуги. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. Ход состоит в том, чтобы обвести кружочками пару диаметрально противоположных точек и ещё одну точку. Дважды обводить одну и ту же точку нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию? (Дайте ответ в зависимости от $n$)(И. Рубанов)

9 класс

9.5. Каждый из пассажиров автобуса получил билет с шестизначным номером, причем все номера билетов — последовательные числа. Какое наибольшее количество пассажиров могло ехать в автобусе, если ровно у $1/12$ из них в номере билета есть цифра $7$? (М. Мурашкин)

9.6. см. 8.6

9.7. На сторонах треугольника $ABC$ отмечены шесть точек: $C_1$ и $C_2$ на $AB$, $A_1$ и $A_2$ на $BC$, $B_1$ и $B_2$ на $CA$. Известно, что $A_1B_2 \parallel AB$, $B_1C_2 \parallel BC$ и $C_1A_2 \parallel AC$. Докажите, что треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ равновелики. (Л. Емельянов)

9.8. Каждое натуральное число от $1$ до $n$ домножили на некоторую степень двойки с неотрицательным целым показателем, после чего все числа сложили. Полученная сумма также оказалась степенью двойки. При каких $n$ такое возможно? (М. Мурашкин, А. Кришеник)

10 класс

10.5. см. 9.5.

10.6. Натуральное число $n$ обладает следующим свойством: для любых натуральных $a$ и $b$ число $(a+b)^n - a^n - b^n$ делится на $n$. Докажите, что $a^n - a$ делится на $n$ для любого натурального $a$.(В. Сендеров)

10.7. Пусть $P$ — произвольная точка на стороне $AC$ треугольника $ABC$. На сторонах $AB$ и $CB$ взяты точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM = AP$ и $CN = CP$. Перпендикуляры, проведенные в точках $M$ и $N$ к сторонам $AB$ и $BC$ соответственно, пересекаются в точке $Q$. Докажите, что $\angle QIB = 90°$, где $I$- центр вписанной окружности треугольника $ABC$. (Т. Емельянова)

10.8. Может ли ладья обойти все клетки шахматной доски $10 \times 10$, побывав на каждой клетке ровно по разу, чередуя ходы длиной в одну и в две клетки? (Считается, что, делая ход в две клетки, ладья не проходит по промежуточной клетке.) (А. Грибалко)

11 класс

11.5. Назовем тройку положительных чисел $a, b, c$ удобной, если система неравенств $ax^2 < bx + c$, $bx^2 < cx + a$, $cx^2 < ax + b$ имеет ровно два целых решения. Докажите, что тройка $a, b, c$ удобна тогда и только тогда, когда $a, b, c$ — длины сторон некоторого треугольника. (Я. Агаханов)

11.6. Найдите все такие пары натуральных чисел $n,k$, что $n > 1$, $k$ — нечетно, и $(n - 1)! + 1 = n^k$. (В. Сендеров)

11.7. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Сфера $S$ с центром на диагонали $AC_1$ пересекает ребра $AB, AD, AA_1$ в точках $K,L,M$ соответственно, а ребра $C_1D_1, C_1B_1, C_1C$ — в точках $K_1,L_1,M_1$ соответственно. Оказалось, что плоскости $KLM$ и $K_1L_1M_1$ параллельны, но треугольники $KLM$ и $K_1L_1M_1$ неравны. Докажите, что диагональ $AC_1$ образует равные углы с ребрами $AB, AD$ и $AA_1$. (П. Кожевников)

11.8. Шахматную доску разбили на двухклеточные прямоугольники. Каждый из них требуется закрасить каким-нибудь цветом так, чтобы любые две клетки доски, отстоящие на ход коня, были раскрашены в разные цвета. Какого наименьшего числа цветов заведомо хватит для этого? (Ход коня состоит в перемещении на две клетки по горизонтали и одну по вертикали, или же на две клетки по вертикали и одну по горизонтали.) (А. Грибалко)

[Профессор Снэйп]

Цитата:

11.5. Назовем тройку положительных чисел $a, b, c$ удобной, если система неравенств $ax^2 < bx + c$, $bx^2 < cx + a$, $cx^2 < ax + b$ имеет ровно два целых решения. Докажите, что тройка $a, b, c$ удобна тогда и только тогда, когда $a, b, c$ — длины сторон некоторого треугольника.

Множество решений каждого из трёх неравенств либо пусто, либо является интервалом на действительной прямой. Так как пересечение трёх интервалов либо пусто, либо опять является интервалом, то аналогичное утверждение справедливо также и для множества решений всей системы.

По условию у системы есть целое решение, так что оно не пусто. Значит, множество решений этой системы --- интервал $(\alpha, \beta)$ для некоторых $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, таких что $\alpha < \beta$.

Раз коэффициенты положительны, то число $0$ является одним из решений системы. Таким образом, $\alpha < 0 < \beta$. Кроме нуля в указанный интервал входит ровно целое число, так что выполнена одна из двух альтернатив:

1) $-2 < \alpha < -1$ и $0 < \beta < 1$.
2) $-1 < \alpha < 0$ и $1 < \beta < 2$.

Предположим, что выполнена первая альтернатива. Тогда $-1$ является решением системы и справедливы неравенства

$$ \begin{array}{c} a < -b + c \\ b < -c + a \\ c < -a + b \end{array} $$

Сложив первое из них с неравенством $0 < 2b$, второе с неравенством $0 < 2c$, а третье с неравенством $0 < 2a$, получаем, что справедливы также и неравенства

$$ \begin{array}{c} a < b + c \\ b < c + a \\ c < a + b \end{array} $$

Однако это означает, что число $1$ также является решением системы и $\beta > 1$, что неверно из-за выбора альтернативы.

Значит, верна вторая альтернатива и число $1$ является решением системы. Таким образом, опять приходим к справедливости неравенств

$$ \begin{array}{c} a < b + c \\ b < c + a \\ c < a + b \end{array} $$

Ну а эта система неравенств, в свою очередь, равносильна существованию треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ (треугольник с данными длинами сторон существует тогда и только тогда, когда для этих длин выполнены неравенства треугольника).

Что-то чересчур лёгкая задача получается. Даже для конкурсной лёгкая, а уж для олимпиады тем более!

И непонятно, зачем в условии было требовать, чтобы целочисленных решений системы было ровно $2$. Достаточно было сказать, что их не менее двух, этого было бы достаточно.

Добавлено спустя 5 минут 3 секунды:

Упс! Там же требуется доказать, что "тогда и только тогда", а я доказал лишь в одну сторону.

Докажем в другую сторону. Известно, что числа $0$ и $1$ являются решениями системы. Необходимо показать, что числа $-1$ и $2$ решениями не являются.

С $-1$ понятно. Все три числа $-b+c$, $-c+a$, $-a+b$ не могут быть положительными, поскольку их сумма равна нулю. Ну а если одно из них отрицательно, то при подстановке $x=-1$ в систему одно из неравенств имеет положительную левую часть и правую часть $\leqslant 0$, что невозможно.

Насчёт двойки. Сложив все неравенства в системе, имеем $(a+b+c)x^2 < (a+b+c)(x+1)$. Если подставить сюда $x=2$, то имеем $4(a+b+c) < 3(a+b+c)$, что невозможно, ибо сумма $a+b+c$ положительна. Так что вот.

Всё равно слишком лёгкая задача, явно не олимпиадного уровня.

[RIP]

Hypokeimenon писал(а):

10.6. Натуральное число $n$ обладает следующим свойством: для любых натуральных $a$ и $b$ число $(a+b)^n - a^n - b^n$ делится на $n$. Докажите, что $a^n - a$ делится на $n$ для любого натурального $a$.(В. Сендеров)

Доказывается индукцией по $a$ (это одно из доказательств малой теоремы Ферма).

Добавлено спустя 8 минут 48 секунд:

Hypokeimenon писал(а):

11.6. Найдите все такие пары натуральных чисел $n,k$, что $n > 1$, $k$ — нечетно, и $(n - 1)! + 1 = n^k$. (В. Сендеров)

Перепишем в виде $(n-2)!=n^{k-1}+\dots+1$. Справа стоит нечётное число.

[Dimoniada]

Геометрия "никакая" по сложности.

[antbez]

Цитата:

11.1 - это произведение нескольких последовательных чисел. При это среди них не может быть делящихся на 5, а значит, остаются варианты из 4, 3, 2 чисел - тупейшей проверкой убеждаемся, что в этих случаях последней цифрой никогда не будет 8 - или из одного числа.

Почему не может быть делящихся на 5? Требуется, чтоб число заканчивалось именно на 2008. В-общем, поясните своё доказательство.

[ИСН]

Простите, что пояснять: что числа, делящиеся на 5, обычно не оканчиваются на 2008?

[Кудя]

Dimoniada писал(а):

Геометрия "никакая" по сложности.

Решил всю геометрию, кроме 10,7. Объясни, как ее решать.

Да, еще задачу про 2 круга в круге (не помню номер), решал графиком (в два действия задача ). А геометрически реально ее решить??

[antbez]

Цитата:

Простите, что пояснять: что числа, делящиеся на 5, обычно не оканчиваются на 2008?

Не это! Проверили, что не будет зак-ся на 8- ладно. Если бы в условии гипотетически было 3128, суть док-ва бы не изменилась?

[ИСН]

antbez писал(а):

Если бы в условии гипотетически было 3128, суть док-ва бы не изменилась?

Ничуть. А с чего бы?

[antbez]

Цитата:

11.6. Найдите все такие пары натуральных чисел , что , — нечетно, и . (В. Сендеров)

(2,1),(3,1)

Добавлено спустя 4 минуты 39 секунд:

Цитата:

Каждый из пассажиров автобуса получил билет с шестизначным номером, причем все номера билетов — последовательные числа. Какое наибольшее количество пассажиров могло ехать в автобусе, если ровно у из них в номере билета есть цифра ? (М. Мурашкин)

"7" может быть на одном из 3 последних мест- если я правильно понимаю термин "последовательное число". А дальше подсчёт: 3 случая дают по 48 комбинации каждый. 48*3*12=1728. Или у меня что-то не так, или это- не автобус!

Добавлено спустя 1 минуту 28 секунд:

10.6. Натуральное число обладает следующим свойством: для любых натуральных и число делится на . Докажите, что делится на для любого натурального .(В. Сендеров)
Доказал от противного

Добавлено спустя 2 минуты 25 секунд:

9.8. Каждое натуральное число от до домножили на некоторую степень двойки с неотрицательным целым показателем, после чего все числа сложили. Полученная сумма также оказалась степенью двойки. При каких такое возможно? (М. Мурашкин, А. Кришеник)

При n=1. При больших n у меня получаются чётные числа.

Добавлено спустя 10 минут 52 секунды:

Конечно же, в 9.8- нечётные числа (или нецелые)

[Батороев]

antbez писал(а):

Или у меня что-то не так, или это- не автобус!

Нет, автобус - вполне обычный.

Минимальная плотность чисел, имеющих в написании семерки, на оси натурального ряда - $ 1:10 $ (на других участках решений нет).
Если обозначить целую часть числа - $ [\frac {N}{10}] $, то можно составить уравнение:
$ [\frac {N}{10}] = \frac {N}{12} $, где по условию задачи $ \frac {N}{12} $ должно быть целочисленно и максимально.
$ N = 48 $.

[pochemuchka]

А как решается 10.2, а то решить не получается

[TOTAL]

pochemuchka писал(а):

А как решается 10.2, а то решить не получается

$$ab+c=bc+a=ca+b=n=?$$

$$a+b+c=200$$

Решайте.

[pochemuchka]

чего-то я ничего не поняла

[TOTAL]

pochemuchka писал(а):

чего-то я ничего не поняла

Буквами

$$a, b, c$$

обозначены количества точек, рядом с которыми стоят соответственно цифры

$$1, 2, 3$$

.
А как Вы понимаете условие задачи?