короткое доказательство теоремы Барбашина–Красовского

[Oleg Zubelevich]

Пусть $U\subset\mathbb{R}^m$ -- открытое множество, содержащее $0$.

Рассмотрим систему

$$\dot x=v(x),\quad v(0)=0\qquad (*)$$

вектоное поле $v$ локально липшицево в $U$.

Теорема. Предположим, что существует функция $V\in C^1(U)$ такая, что
1) $V(x)\ge 0,\quad V(x)=0\Longleftrightarrow x=0$
2) $L_v V\le 0$ в $U$ ($L_v$ -- производная Ли)
3) множество $N=\{x\in U\mid (L_v V)(x)=0\}$ не содержит решений системы (*) кроме, может быть, нуля.
Тогда нулевое решение системы (*) асимптотически устойчиво.

Доказательство. В силу стандартной теоремы Ляпунова нулевое решение устойчиво. Предположим, что в малой окрестности нуля нашлась точка $\tilde x$ такая, что решение $x(t),\quad x(0)=\tilde x$ не стремится к нулю, но при всех $t\ge 0$ будет $\|x(t)\|<\epsilon$, где $\epsilon>0$ настолько мало, что замкнутый шар с центром в нуле радиуса $\epsilon$ принадлежит $U$.
В силу пункта 2) функция $f(t)=V(x(t))$ не возрастает. Поскольку она ограничена снизу, имеем $f(t)\to f_*,\quad t\to\infty$.
Поскольку решение не является асимптотически устойчивым, $f_*>0$.
Действительно, отсутствие асимптотической устойчивости означает, что найдется последовательность $t_k\to\infty$ такая, что $\|x(t_k)\|\ge const>0$. Выделяя из последовательности $x(t_k)$ сходящуюся подпоследовательность $x(t_{k_j})\to \hat x\ne 0$, получаем $f(t_{k_j})\to f_*=V(\hat x)>0$.

Через $\omega$ обозначим $\omega-$предельное множество решения $x(t)$. По определению, $y\in\omega$ тогда и только тогда, когда найдется последовательность $t_n\to\infty$ такая, что $x(t_n)\to y$. В частности $\hat x\in \omega$.
Из общей теории известно, что множество $\omega$ компактно и инвариантно.
Имеем

$$V(\omega)=f_*\qquad (**).$$

Проверим, что $(L_vV)(\omega)=0$. Действительно, предположим противное: для некоторого $x'\in\omega$ будет $(L_vV)(x')<0$. Решение $X(t),\quad X(0)=x'$ при всех $t\ge 0$ содержится в $\omega$, но поскольку

$$\frac{d}{dt} V(X(t))\Big|_{t=0}=(L_vV)( x')<0$$

то $V(X(t))<f_*$ при малых $t>0$. Это противоречит формуле (**).
Таким образом, в силу пункта 3) $\omega=\{0\}$. Это противоречит тому, что $\hat x\in \omega$. Что и доказывает теорему.

[scwec]

Красивое доказательство. Но я не нашел в нем расхождений с доказательством этой теоремы, приведенным Е.А.Барбашиным в его книжке "Функции Ляпунова" 1970 г. стр.19 из серии ФМБИ (мне кажется она не переиздавалась).
Когда-то эта книга была у меня настольной.

[Oleg Zubelevich]

Да, спасибо, книжка хорошая, я про нее не знал. Я на Красовского и Малкина ориентировался.

Теперь взглянем на теорему Барбашина-Красовского с более общих позиций.

Пусть $S(t):H\to H,\quad t\ge 0$ -- непрерывная полугруппа на метрическом пространстве $H$.

Определение. Множество $M$ называется абсорбирующим в открытом множестве $F,\quad M\subset F$ если для любого ограниченного подмножества $B\subset F$ существует $t_0$ такое, что для всякого $t>t_0 $ выполнено включение $S(t)B\subset M$.

Определение. Полугруппа $S(t)$ называется равномерно компактной если для каждого ограниченного множества $B$ найдется $t_0$ такое, что множество $\bigcup_{t\ge t_0} S(t)B$ относительно компактно.

Теорема 1.[R. Temam: Infinite-dimensional dynamical systems]
Предположим, что полугруппа $S(t)$ равномерно компактна и существует открытое множество $F$ и его абсорбирующее подмножество $M$. Подмножество $M$ ограничено.
Тогда множество $\omega (M)$ компактно и является аттрактором. Более того, это максимальный (по включению) ограниченный атрактор в $F$. Он притягивает ограниченные множества $F$.

Вернемся к теореме Барбашина-Красовского. Только выбросим из нее пункт 3).

Теорема 2. (Ла-Салль) Предположим, что существует функция $V\in C^1(U)$ такая, что
1) $V(x)\ge 0,\quad V(x)=0\Longleftrightarrow x=0$
2) $L_v V\le 0$ в $U$
Пусть $G$ -- связная компонента множества $\{V(x)< c\}$, содержащая $0$ и такая, что множество $\overline G$ компактно и принадлежит $U$. Все это возможно, если $c>0$ достаточно мало.
Тогда множество $K=\{x\in \overline G\mid (L_v V)(x)=0\}$ содержит компактный аттрактор, который максимален в $\overline F$.

Очевидно, теорема Барбашина-Красовского является следствием теоремы 2.

Докажем теорему 2. Что бы применить теорему 1 нам нужно указать ограниченное абсорбирующее множество $M\subset \overline G$. Положим $M=\{x\in \overline G\mid (L_vV)(x)\ge -1\}$. Роль метрического пространства $H$ играет $\overline G$ ; $F$ -- это все $\overline G$.
Для того что бы проверить, что $\omega(M)\subset K$. Достаточно убедиться, что для любого $\epsilon>0$ найдется $t_0$ такое, что при $t>t_0$ будет $g_v^t(M)\subset \{x\in \overline G\mid (L_vV)(x)\ge -\epsilon\}$, а последнее следует из непрерывной зависимости решения от начальных данных и компактности множества $M$.

[scwec]

Oleg Zubelevich в сообщении #1042051 писал(а):

Я на Красовского и Малкина ориентировался.

Согласен, доказательство, изложенное в III редакторском (редактор Н.Н. Красовский) дополнении к книге И.Г.Малкина, длинновато. Изложение более короткого и идейно приближенного к принципу инвариантности Ла-Салля доказательства вполне оправдано.
Есть вполне приличная переводная книга, включающая эти вопросы 1980 г.- Руш Н., Абетс П.,Лалуа М.
"Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости" (под редакцией В.В. Румянцева).