Неравенства (одно-двухходoвки)

[sergei1961]

то есть верно, что $r_a+r_b \le r$ ?

[arqady]

sergei1961 в сообщении #1041274 писал(а):

то есть верно, что $r_a+r_b \le r$ ?

Помоему, как раз ноборот: $r_a+r_b=4R-r_c+r>r$.

[sergei1961]

А как тогда из равенства выше с пятью разными радиусами следует нужное? Мозги совсем от жары не работают.

[nnosipov]

Радиусы внешних окружностей больше $r$. Отсюда $r_a+r_b=4R+r-r_c<4R$. И уж тем более $r_a<4R$.

[sergei1961]

Спасибо, понял.

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #1041203 писал(а):

11. В остроугольном треугольнике докажите, что:

$$\frac{(a-b)^2}{c^2}+\frac{(b-c)^2}{a^2}+\frac{(c-a)^2}{b^2}\leq2$$

$a \ge b \ge c$

$b^2 +c^2 \ge a^2$ ( треугольник остроугольный)

$$LHS \le \left| \frac {a-b}{c} \right|+ \left |\frac {b-c}{a} \right| + \left | \frac {c-a}{b} \right | = $$

$$=\frac {a-b}{c} +\frac {b-c}{a}+\frac {a-c}{b}= \frac {(a-c)(ab-b^2+ac+bc)}{abc}=$$

$$=\frac {(a^2-c^2)(ab-b^2+ac+bc)}{abc (a +c)} \le \frac {b(ab-b^2+ac+bc)}{ac (a+c)} < 2$$

[arqady]

Интересно, как Вам последнее неравенство очевидно?
Я вижу только это:
$ \frac {b(ab-b^2+ac+bc)}{ac (a+c)}\leq \frac {b(ab-b^2+ac+bc)}{bc (b+c)}\leq \frac {(b+c)\sqrt{b^2+c^2}-b^2+bc}{c (b+c)}<2$.

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #1041513 писал(а):

Интересно, как Вам последнее неравенство очевидно?
Я вижу только это:
$ \frac {b(ab-b^2+ac+bc)}{ac (a+c)}\leq \frac {b(ab-b^2+ac+bc)}{bc (b+c)}\leq \frac {(b+c)\sqrt{b^2+c^2}-b^2+bc}{c (b+c)}<2$.

$\Leftrightarrow b^3+2a^2c+2ac^2 \ge b (a^2-c^2)+2 a^2c+2ac^2 > ab^2+abc+b^2c $

$(ba^2 \ge ab^2, 2a^2c\ge abc+ b^2c, -bc^2+2ac^2 > 0)$

[TR63]

grizzly в сообщении #1041001 писал(а):

Напрашивающееся усиление уже будет трёхходовкой, наверное:

$$ 2\sqrt{a^ab^b}\ge a^b+b^a. $$

Технология составления такого неравенства понятна. Не поняла, есть ли для него стандартное доказательство. Я тоже по этой технологии состряпала неравенство. Но у него есть стандартное простое доказательство для более слабого варианта $a^2+b^2\ge a^ab^b$, $a+b=1$, $(a;b)> 0$ плюс условие для переменной (a) (не знаю, можно ли от него избавиться). Предлагаю найти условие, доказать неравенство и выяснить, верно ли оно без дополнительных условий на переменную (a).
Тогда для положительных $(a;b)$ при $a+b=1$ (плюс условие на переменную (a) из первого неравенства) верно ли неравенство:
$a^2+b^2\le 2a^ab^b$. (Это гипотетическое неравенство.)

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #1041071 писал(а):

9. $a>0$, $b>0$. Докажите, что:

$$a^ab^b\geq\left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^{\frac{a+b}{2}}$$

Перепишем неравенство виде $(0 < t < 0.5)$:

$$(0.5-t)^{0.5-t}(0.5+t)^{0.5+t} \ge \sqrt{\frac{1}{4}+t^2} $$

$$(0.5-t)^{0.5-t}(0.5+t)^{0.5+t}= \frac{1}{2}\exp \left({\sum_{n=1}^\infty {\frac{(2t)^{2n}} {(2n-1)2n}}} \right) \ge \frac{1}{2} \left(1+2t^2 \right) \ge \sqrt{\frac{1}{4}+t^2} $$

[arqady]

Sergic Primazon в сообщении #1041936 писал(а):

Перепишем неравенство виде $(0 < t < 1)$:

$$(0.5-t)^{0.5-t}(0.5+t)^{0.5+t} \ge \sqrt{\frac{1}{4}+t^2} $$

$(0.5-t)^{0.5-t}$? What is it?

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #1041950 писал(а):

Sergic Primazon в сообщении #1041936 писал(а):

Перепишем неравенство виде $(0 < t < 0.5)$:

$$(0.5-t)^{0.5-t}(0.5+t)^{0.5+t} \ge \sqrt{\frac{1}{4}+t^2} $$

$(0.5-t)^{0.5-t}$? What is it?

Делаем замену : $\frac{a}{a+b}=0.5-t$ ,$\frac{b}{a+b}=0.5+t$

[arqady]

Also we can differentiate twice.

[arqady]

TR63 в сообщении #1041770 писал(а):

$a^2+b^2\ge a^ab^b$, $a+b=1$, $(a;b)> 0$

То бишь, нужно доказать, что $f(x)\geq0$, где $f(x)=\ln(2x^2-2x+1)-x\ln{x}-(1-x)\ln(1-x)$ и $0<x<1$.
$f'(x)=\frac{4x-2}{2x^2-2x+1}+\ln\left(\frac{1}{x}-1\right)$.
$f'(x)=0$, когда $x_1=0.128...$, $x_2=0.5$ и $x_3=0.871...$ и так как $\lim\limits_{x\rightarrow0^+} f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-} f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)=0$, то неравенство доказано.

TR63 в сообщении #1041770 писал(а):

Тогда для положительных $(a;b)$ при $a+b=1$ верно ли неравенство:
$a^2+b^2\le 2a^ab^b$

Верно! Даже $a^2+b^2\le \frac{8}{7}a^ab^b$ верно.

[TR63]

Да, технология стандартная, но у меня другая: Ваше любимое АМ-ГМ для первого неравенства. Потом конструирование гипотетического неравенства.