О точках плотности

[kp9r4d]

Пусть у нас есть измеримое по Лебегу множество $E$. Точку $x \in E$ назовём точкой плотности множества $E$ если выполнено

$$\lim_{r\to 0} \frac{m(E \cap B(x,r))}{m(B(x,r))} = 1 $$

доказать что почти всякая точка $E$ - точка плотности, а почти всякая точки из дополнения $E$ не является точкой плотности. Опять ступор, был бы благодарен за подсказку.

[demolishka]

Ну для дополнения тривиально.
$E = B \setminus C$, где $B$ - множество типа $G_\delta$ и $m(C)=0$. Тогда все точки дополнения $B$ не являются точками плотности.

[demolishka]

Верно ли, что граница компакта в $\mathbb{R}^n $ имеет нулевую $n$-мерную меру лебега? Тогда и про само множество $E$ ясно.

[VladimirKr]

Цитата:

Верно ли, что граница компакта в $\mathbb{R}^n $ имеет нулевую $n$-мерную меру лебега?

Нет, это не верно. Существуют компакты с ненулевой мерой границы.
Пример: $\mathbb{R}$, В отрезке $[0,1]$ покроем все рациональные точки интервалами суммарной меры меньше, ну например, 1/2. Это можно сделать.
Искомое множество: отрезок [0,1] без этого покрытия.

-- 27.07.2015, 09:42 --

Цитата:

доказать что почти всякая точка $E$ - точка плотности (утверждение 1), а почти всякая точки из дополнения $E$ не является точкой плотности. (утверждение 2)

Возьмем множество $E$, имеющее дополнение ненулевой меры и получим противоречие первого утверждения со вторым...

[demolishka]

VladimirKr в сообщении #1040752 писал(а):

Возьмем множество $E$, имеющее дополнение ненулевой меры и получим противоречие первого утверждения со вторым...

Имеется в виду точка плотности относительно $E$. А за пример спасибо.

Кстати, вот это тогда неверно

demolishka в сообщении #1040688 писал(а):

все точки дополнения $B$ не являются точками плотности

[VladimirKr]

kp9r4d в сообщении #1040665 писал(а):

доказать что почти всякая точка $E$ - точка плотности.

$\mathbb{R}^n $, мера Лебега $m$
Предлагаю план доказательства:
1. Для любого множества $E$, имеющего конечную внешнюю меру $M$ имеет место утверждение: $\forall\varepsilon>0$ найдется замкнутое множество $B$, такое, что $B \subseteq E$ и $m(B)\geqslant M-\varepsilon$
2. От противного. Можно доказать, что если $E$ такое множество, что внешняя мера точек плотности меньше $m(E)$, тогда существует замкнутое и ограниченное множество ненулевой меры Лебега $B \subseteq E$, не имеющее точек плотности. Тогда можно построить конечное покрытие этого множества открытыми шарами суммарной меры меньшей $m(B)$. Противоречие.

[VladimirKr]

VladimirKr в сообщении #1040767 писал(а):

2. ...Тогда можно построить конечное покрытие этого множества открытыми шарами суммарной меры меньшей $m(B)$. Противоречие.

Точнее:
Тогда можно построить такое конечное покрытие этого множества открытыми шарами, что мера пересечения этого покрытия с $B$ будет меньше $m(B)$. Противоречие.

[kp9r4d]

VladimirKr в сообщении #1040782 писал(а):

Тогда можно построить такое конечное покрытие этого множества открытыми шарами, что мера пересечения этого покрытия с $B$ будет меньше $m(B)$. Противоречие.

Не вижу как это можно получить.

[VladimirKr]

kp9r4d в сообщении #1041031 писал(а):

VladimirKr в сообщении #1040782 писал(а):

Тогда можно построить такое конечное покрытие этого множества открытыми шарами, что мера пересечения этого покрытия с $B$ будет меньше $m(B)$. Противоречие.

Не вижу как это можно получить.

Да, сегодня с утра я обнаружил логический изъян в своих домыслах. Теперь и мне это не видно. Более того, уже некоторое время я сомневаюсь в истинности утверждения и пытаюсь построить контрпример.
Вот, например, возьмем замкнутое множество с границей ненулевой меры, озвученное выше:

Цитата:

Существуют компакты с ненулевой мерой границы.
Пример: $\mathbb{R}$, В отрезке $[0,1]$ покроем все рациональные точки интервалами суммарной меры меньше, ну например, 1/2. Это можно сделать.
Искомое множество: отрезок [0,1] без этого покрытия.

Кажется, можно придумать строгий пример счетного покрытия рациональных точек, дающий локальное соотношение мер выкинутых и оставленных точек, равное той же 1/2.

Кстати, если заменить требование для множества $E$ измеримости по Лебегу на измеримость по Жордану, то утверждение будет верным с доказательством в одну строку. (критерий измеримости по Жордану: множество ограничено и имеет нулевую внешнюю меру границы; ну, а точки, не являющиеся точками плотности могут быть только граничными).

[grizzly]

VladimirKr в сообщении #1041090 писал(а):

уже некоторое время я сомневаюсь в истинности утверждения и пытаюсь построить контрпример.

Ну, сомневаться это всё-таки лишнее Эта теорема как раз даёт качественное понимание природы измеримого множества -- потенциальные проблемы измеримого множества существенно локализованы (даже если граничных точек слишком много, почти все они являются почти внутренними).

Что касается доказательства утверждения, то пытаться придумать его просто на основании определений не особенно благодарное занятие.

kp9r4d
Это утверждение является частным случаем теоремы 1.6.19. Просто посмотрите, во что превращается утверждение этой теоремы, если в её вторую формулу подставить характеристическую функцию ("индикатор") нашего измеримого множества.

[kp9r4d]

grizzly в сообщении #1041128 писал(а):

Это утверждение является частным случаем теоремы 1.6.19. Просто посмотрите, во что превращается утверждение этой теоремы, если в её вторую формулу подставить характеристическую функцию ("индикатор") нашего измеримого множества.

Точно ведь, спасибо!