U-образная трубка с ртутью

[Turtur]

Всем здравия желаю! Наткнулся на такую задачу:

Цитата:

U-образная тонкая трубка постоянного внутреннего сечения с вертикально расположенными коленами заполняется ртутью так, что в каждом из открытых колен остаётся слой воздуха длиной $L=320 мм$ . Затем правое колено закрывается небольшой пробкой. Какой максимальной длины слой ртути можно долить в левое колено, чтобы она не выливалась из трубки? Опыт производится при постоянной температуре, внешнее давление составляет 720 мм.рт.ст.

Допустим, доливаем $x$ мм. Тогда объём воздуха в правом колене будет $(L-x)S$, где $S$ - сечение трубки. Ясно, что изначально объём воздуха в правом колене был $LS$, а давление было равно атмосферному - $p$. Воздух никуда не делся, когда мы долили ртуть в левое колено, можно использовать закон Бойля-Мариотта: тогда новое давление воздуха в правой трубке равно $p/(L-x)$. Оно равняется давлению ртути на том же уровне - $L-x$. Отсюда выходит, что x^2-640x+101680=0. Уравнение не имеет решений.
Пожалуйста, укажите, где я неправ. Разве не очевидно, что объём воздуха уменьшится? Ведь мы увеличиваем давление в левом колене, так как ртуть доливаем, соответственно, сжимаем воздух в правом колене. Тогда что неверно из следующего?

[Metford]

Почему бы просто не рассмотреть конечную ситуацию, когда уже ртуть долили до предела? В одном колене воздух (давление, конечно, стало больше - по закону Бойля-Мариотта определяется), с другой стороны - долитая доверху ртуть. Написать равенство давлений - и всё. Число в ответе целое получается. Даже круглое

[Turtur]

Metford, у вас новое давление воздуха в правой трубке равно $p/(L-x)$?

-- 28.07.2015, 19:23 --

У меня получилось: $(L-x)=720/(L-x)$. Ну, в итоге то же самое уравнение без решения :(

[Metford]

Turtur, Вы рассматриваете какую-то промежуточную ситуацию: сколько-то ртути долили. Да, долили. Да, давление изменится - только не так, как Вы написали (уже по размерности неверно). Но ртути до перелива ещё может быть далеко. Вы ртуть доливаете, воздух в другом колене сжимается, его давление увеличивается - уровень ртути слева и справа разный становится.

Как Вы давление получили такое? Как уравнение последнее получили?

[Turtur]

Напишу по новой (вы были правы, неправильно нашёл новое давление воздуха):
Долили максимальный возможный уровень ртути - $x$ мм. Давление в левом колене повысилось. Повысилось настолько же и в правом. Раз долили $x$ мм, то и давление изменилось на $gx\rho$. С другой стороны, давление воздуха в правом колене сначала равнялось атмосферному $p$, а потом стало равно $pL/(L-x)$, т.е. разница равна $x/(L-x)$.

[Metford]

Так. Вам не будет сложно сделать картинку? Чтобы там было нарисовано исходное положение ртути - пока ничего не доливали - и конечное, когда дальше наливать уже нельзя?

[Turtur]

Извиняюсь за долгость и кривость - оказалось, что из меня ещё более плохой чертёжник на пк, чем на бумаге.

[Metford]

На чертеже как-то обозначения не согласуются с тем, что Вы раньше писали.

Turtur в сообщении #1041094 писал(а):

Долили максимальный возможный уровень ртути - $x$ мм.

По чертежу получается, что $x$ - это повышение уровня ртути в закрытом колене, а не сколько долили.

Так вот, Вы напишите давление, которое оказывается столбом ртути над пунктиром и атмосферой слева, и давление, которое оказывается столбом ртути над пунктиром справа и воздухом в закрытом колене с учётом закона Бойля-Мариотта.

Да, и заодно напишите через обозначения, введённые на чертеже, сколько же ртути долили. Не на сколько уровень в правом колене повысился - а сколько долили (в этом вопрос задачи ведь состоит). Это пока так - чтобы было.

[Turtur]

Metford Да это я сам с собой не согласуюсь! В голове каша, ладно хоть благодаря вам рисунок нарисовал, а то без него мой мозг, наверное, не осилил хех.
$p+gL\rho=gx\rho+px/(L-x)$. Вот, равенство. Уровень, который долили равен $x+L$ . Всё по рисунку.
Из первого уравнения нашёл два корня, обе со знаком приблизительно, первый, самый маленький - $95$. Сейчас пересчитаю.

[Metford]

И осталось только всё-таки разобраться с давлением в закрытом колене. Вы уж даже приводили правильное выражение...

[Turtur]

Metford, о боже, точно. Я ж вместо $L$ $x$ поставил.
Огромное вам спасибо!

[Metford]

Не за что. Добивайте его

[Turtur]

$x=80$, $L+x=400$
Читыриста! Два землекопа, два!^^