Теорема Кантора. Доказательство

[RonHabard]

Читаю классическое доказательство теоремы Кантора. Привожу его:
Два множества равномощны, тогда и только тогда, когда между ними можно построить биекцию. Чтобы доказать теорему Кантора достаточно показать, что для любого заданного множества $X$, не существует сюръекции на $P(X)$. Итак, предположим, что у нас имеется сюръекция $f: X \to P(X)$. Тогда $\forall x \in X: f(x) \in P(S) \Rightarrow \forall x \in X: f(x) \subset S.$ Для каждого $x \in X$ имеем два варианта: $x \in f(x)$ и $x \notin f(x).$ Пусть $S = \left\{x \in X: x \notin f(x) \right\}.$ Так как $f$ -- сюръеция по предположению, следовательно $\exists y \in X: S=f(y)$. Таким образом, $ y \in f(y) \Rightarrow y \notin f(y) $, но $ y \notin f(y) \Rightarrow y \in f(y).$ Противоречие.

Во-первых, как понимать запись $x \in f(x)$? Во-вторых, можете подробнее объяснить последнее предложение доказательства?

[NSKuber]

RonHabard в сообщении #1040706 писал(а):

Во-первых, как понимать запись $x \in f(x)$?

Буквально. $f$ отображает элементы $X$ в подмножества $X$. Соответственно, $f(x)$ есть подмножество $X$, а $x$ - элемент $X$ и может так получиться, что $x\in f(x)$.
Последнее предложение читается так: Пусть $y\in f(y)$. Тогда, так как $f(y)=S$, из определения $S$ следует, что $y\notin f(y)$, противоречие. Значит предположение неверно, и $y\notin f(y)$. Но тогда, по определению множества $S$, $y\in S=f(y)$, снова противоречие. Значит неверно и более ранее предположение о существовании сюръекции.