Отношение сторон в параллелограмме

[KPEHgEJIb]

Дан параллелограмм, в котором величина острого угла равна $\frac{\pi}{3}$. Найти отношение длин сторон паралеллограмма, если отношение квадратов длин диагоналей равно $\frac{1}{3}$.

Единственное с чем приходит в голову связать угол - это площадь
$ab\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}d_1d_2\sin\frac{2\pi}{3}$

Ещё есть свойство, что $d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$

Выражал одно через другое, но всё время получается слишком много переменных.

[Someone]

Диагонали выражаются через стороны по теореме косинусов.

[KPEHgEJIb]

Someone,

$d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos\frac{\pi}{3}=a^2+b^2-ab$
$d_2^2=a^2+b^2-2ab\cos\frac{2\pi}{3}=a^2+b^2+ab$

И что это даёт?

[Someone]

В условии что-то про эти квадраты сказано.

Но теорема косинусов как-то не совсем так записывается. Опечатки там у Вас, что ли?

[KPEHgEJIb]

Someone, перепутал знаки, простите.

$\frac{a^2+b^2-ab}{a^2+b^2+ab}=\frac{1}{3}$

Всё равно 2 неизвестных.

[Dimoniada]

a=b

Добавлено спустя 1 минуту 27 секунд:

И их отношение - единица (вам в том числе =*)

[KPEHgEJIb]

Dimoniada, я знаю что ответ $1:1$. Но не понимаю как это выводится.

[Dimoniada]

KPEHgEJIb
ты уже написал как. Там полный квадрат получаеться в твоей дроби...
(a-b)^2 = 0

[KPEHgEJIb]

Dimoniada,
Каким образом у вас получается полный квадрат? ($a^2+2ab+b^2$)

$3a^2+3b^2-3ab=a^2+b^2+ab$
$2a^2+2b^2-2ab=0$
$2(a^2-ab+b^2)=0$

[asinistroso]

KPEHgEJIb писал(а):

Dimoniada,
Каким образом у вас получается полный квадрат? ($a^2+2ab+b^2$)

$3a^2+3b^2-3ab=a^2+b^2+ab$

$2a^2+2b^2-4ab=0$
вот так и получается
$a^2-2ab+b^2$

[KPEHgEJIb]

Dimoniada,
asinistroso,

Убейте меня. Даже стыдно стало

[Dimoniada]

KPEHgEJIb, давай ещё задачу по геометрии!