2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задание топологии ТВП
Сообщение29.06.2015, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Пусть $X$ - топологическое векторное пространство. Тогда топология на $X$ определяется набором окрестностей нуля. Теперь наоборот: пусть имеется набор $\{V_{\alpha}\}$ окрестностей нуля. Хотим проверить, можно ли с помощью этих окрестностей задать топологию и будет ли $X$ с ней ТВП. Утверждается, что если пересечение любых двух окрестностей нуля из набора также содержит окрестность нуля из набора, то существует топология, для которой эта система окрестностей будет базой.
Для доказательства этого утверждения логично проверить критерий базы. Пусть имеются окрестности $V_{\alpha} + x$ и $V_{\beta} + y$ точек $x$ и $y$ соответственно. Совершенно непонятно, почему их пересечение обязано быть окрестностью вида $V_\gamma + z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание топологии ТВП
Сообщение29.06.2015, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Пересечение не обязано быть ВИДА! А лишь содержать. Что, в общем тривиально. Возьмите произвольную точку $z$ из пересечения, если оно не пусто. Сделайте параллельный перенос пересечения так, чтобы найденная точка перешла в нуль. $V_\alpha + x - z$ является окрестностью нуля, $V_\beta + y - z$ - тоже... Ну, доделайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание топологии ТВП
Сообщение29.06.2015, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Такие действия я проделывал, но столкнулся о не понимание почему
Legioner93 в сообщении #1032101 писал(а):
$V_\alpha + x - z$ является окрестностью нуля

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание топологии ТВП
Сообщение29.06.2015, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
demolishka в сообщении #1032094 писал(а):
Пусть имеются окрестности $V_{\alpha} + x$ и $V_{\beta} + y$ точек $x$ и $y$ соответственно.

Ну раз вы такое пишете, значит умеете транслировать окрестность на вектор и считаете, что открытость при этом не портится. Что ещё надо-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание топологии ТВП
Сообщение29.06.2015, 16:00 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
demolishka в сообщении #1032094 писал(а):
Утверждается, что если пересечение любых двух окрестностей нуля из набора также содержит окрестность нуля из набора, то существует топология, для которой эта система окрестностей будет базой.

Этого условия мало. Надо чтобы еще сложение векторов и умножение на скаляры было непрерывной операцией в получившейся топологии. Для этого нужно, чтобы для любого $U$ нашлось $V$ такое, что $V+V\subset U$.

То есть без этого условия топология получится, но она не будет согласована с линейными операциями.

Upd. А может и не получится. Надо подумать. Еще обычно просят, чтобы эти окрестности были уравновешенными и поглощающими.

-- Пн июн 29, 2015 19:16:59 --

Legioner93 в сообщении #1032101 писал(а):
$V_\alpha + x - z$ является окрестностью нуля

Но оно не будет принадлежать исходному набору окрестностей $\{V_\alpha\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание топологии ТВП
Сообщение29.06.2015, 16:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Padawan
Согласен. Надо ещё подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание топологии ТВП
Сообщение29.06.2015, 17:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Padawan в сообщении #1032126 писал(а):
Этого условия мало.

А я пока не хочу получать ТВП. Я просто хочу проверить, что набор $\{V_\alpha + x\}$ (по всем $x$ и $\alpha$) является базой некоторой топологии, если для исходных окрестностей нуля $\{V_{\alpha}\}$ выполняется указанное свойство.

Такое утверждение например можно увидеть в Колмогорове-Фомине на страницах 192-193.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание топологии ТВП
Сообщение29.06.2015, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
demolishka
Можете перечислить все условия, которые вы накладываете на набор окрестностей $\{ V_\alpha \}$? Например, набор наверное замкнут относительно умножения элементов на скаляр? Иначе вообще ерунда получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание топологии ТВП
Сообщение29.06.2015, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Давайте будем считать, что набор ${V_\alpha}$ это система окрестностей нуля, задаваемых счетным семейством полунорм $p_n$. Т.е. $$V_\alpha = V_{\varepsilon,{p_{i_1},...,p_{i_n}}} = \{x \in X \ | \ p_{i_k}(x)<\varepsilon \ \forall k=1..n \}$$
Они замкнуты относительно умножения на скаляр и даже выпуклые. Еще раз поставлю вопрос: почему для того, чтобы проверить, что эта система окрестностей является системой окрестностей нуля в некоторой топологии, достаточно проверить, что $\forall \alpha, \beta \exists \gamma : V_\alpha \cap V_\beta \supset V_\gamma$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание топологии ТВП
Сообщение29.06.2015, 17:58 


10/02/11
6786
в условии вроде не сказано про локальную выпуклость

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание топологии ТВП
Сообщение29.06.2015, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Oleg Zubelevich в сообщении #1032160 писал(а):
в условии вроде не сказано про локальную выпуклость

Изначально вопрос возник конкретно с топологией задаваемой счетным семейством полунорм. В стартовом посте - неудачное обобщение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание топологии ТВП
Сообщение29.06.2015, 18:05 


10/02/11
6786
Шефера полистайте Топологические векторные пространства

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание топологии ТВП
Сообщение25.07.2015, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
С топологией задаваемой счетным семейством полунорм все оказалось довольно просто. Достаточно проверить, что если $V_{\varepsilon,i_1,\ldots,i_n}$ - окрестность нуля и $x \in V_{\varepsilon,i_1,\ldots,i_n}$, то окрестность $x + V_{\varepsilon,i_1,\ldots,i_n}$ точки $x$ содержит окрестность нуля вида $V_{\delta,i_1,\ldots,i_n}$, где $\delta = \varepsilon - \max_{1\leq k \leq n}p_{i_k}(x)$. Тогда, используя конструкцию с параллельным переносом, и с учетом того, что
demolishka в сообщении #1032159 писал(а):
$\forall \alpha, \beta \exists \gamma : V_\alpha \cap V_\beta \supset V_\gamma$.

получаем, что семейство окрестностей $\{V_\alpha + x\}$ есть база некоторой топологии. Свойства ТВП легко проверяются.
Аналогичные рассуждения распространяются и на тот случай, когда задаем слабую топологию, и на случай, когда задаем топологию в пространстве основных функций.

В Шефере есть много различных условий на то, чтобы система окрестностей являлась системой окрестностей в некоторой топологии. Но они все в настолько общих терминах, что мне лень было разбираться.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group