Задание топологии ТВП

[demolishka]

Пусть $X$ - топологическое векторное пространство. Тогда топология на $X$ определяется набором окрестностей нуля. Теперь наоборот: пусть имеется набор $\{V_{\alpha}\}$ окрестностей нуля. Хотим проверить, можно ли с помощью этих окрестностей задать топологию и будет ли $X$ с ней ТВП. Утверждается, что если пересечение любых двух окрестностей нуля из набора также содержит окрестность нуля из набора, то существует топология, для которой эта система окрестностей будет базой.
Для доказательства этого утверждения логично проверить критерий базы. Пусть имеются окрестности $V_{\alpha} + x$ и $V_{\beta} + y$ точек $x$ и $y$ соответственно. Совершенно непонятно, почему их пересечение обязано быть окрестностью вида $V_\gamma + z$.

[Legioner93]

Пересечение не обязано быть ВИДА! А лишь содержать. Что, в общем тривиально. Возьмите произвольную точку $z$ из пересечения, если оно не пусто. Сделайте параллельный перенос пересечения так, чтобы найденная точка перешла в нуль. $V_\alpha + x - z$ является окрестностью нуля, $V_\beta + y - z$ - тоже... Ну, доделайте.

[demolishka]

Такие действия я проделывал, но столкнулся о не понимание почему

Legioner93 в сообщении #1032101 писал(а):

$V_\alpha + x - z$ является окрестностью нуля

[Legioner93]

demolishka в сообщении #1032094 писал(а):

Пусть имеются окрестности $V_{\alpha} + x$ и $V_{\beta} + y$ точек $x$ и $y$ соответственно.

Ну раз вы такое пишете, значит умеете транслировать окрестность на вектор и считаете, что открытость при этом не портится. Что ещё надо-то?

[Padawan]

demolishka в сообщении #1032094 писал(а):

Утверждается, что если пересечение любых двух окрестностей нуля из набора также содержит окрестность нуля из набора, то существует топология, для которой эта система окрестностей будет базой.

Этого условия мало. Надо чтобы еще сложение векторов и умножение на скаляры было непрерывной операцией в получившейся топологии. Для этого нужно, чтобы для любого $U$ нашлось $V$ такое, что $V+V\subset U$.

То есть без этого условия топология получится, но она не будет согласована с линейными операциями.

Upd. А может и не получится. Надо подумать. Еще обычно просят, чтобы эти окрестности были уравновешенными и поглощающими.

-- Пн июн 29, 2015 19:16:59 --

Legioner93 в сообщении #1032101 писал(а):

$V_\alpha + x - z$ является окрестностью нуля

Но оно не будет принадлежать исходному набору окрестностей $\{V_\alpha\}$

[Legioner93]

Padawan
Согласен. Надо ещё подумать.

[demolishka]

Padawan в сообщении #1032126 писал(а):

Этого условия мало.

А я пока не хочу получать ТВП. Я просто хочу проверить, что набор $\{V_\alpha + x\}$ (по всем $x$ и $\alpha$) является базой некоторой топологии, если для исходных окрестностей нуля $\{V_{\alpha}\}$ выполняется указанное свойство.

Такое утверждение например можно увидеть в Колмогорове-Фомине на страницах 192-193.

[Legioner93]

demolishka
Можете перечислить все условия, которые вы накладываете на набор окрестностей $\{ V_\alpha \}$? Например, набор наверное замкнут относительно умножения элементов на скаляр? Иначе вообще ерунда получается.

[demolishka]

Давайте будем считать, что набор ${V_\alpha}$ это система окрестностей нуля, задаваемых счетным семейством полунорм $p_n$. Т.е.

$$V_\alpha = V_{\varepsilon,{p_{i_1},...,p_{i_n}}} = \{x \in X \ | \ p_{i_k}(x)<\varepsilon \ \forall k=1..n \}$$

Они замкнуты относительно умножения на скаляр и даже выпуклые. Еще раз поставлю вопрос: почему для того, чтобы проверить, что эта система окрестностей является системой окрестностей нуля в некоторой топологии, достаточно проверить, что $\forall \alpha, \beta \exists \gamma : V_\alpha \cap V_\beta \supset V_\gamma$.

[Oleg Zubelevich]

в условии вроде не сказано про локальную выпуклость

[demolishka]

Oleg Zubelevich в сообщении #1032160 писал(а):

в условии вроде не сказано про локальную выпуклость

Изначально вопрос возник конкретно с топологией задаваемой счетным семейством полунорм. В стартовом посте - неудачное обобщение.

[Oleg Zubelevich]

Шефера полистайте Топологические векторные пространства

[demolishka]

С топологией задаваемой счетным семейством полунорм все оказалось довольно просто. Достаточно проверить, что если $V_{\varepsilon,i_1,\ldots,i_n}$ - окрестность нуля и $x \in V_{\varepsilon,i_1,\ldots,i_n}$, то окрестность $x + V_{\varepsilon,i_1,\ldots,i_n}$ точки $x$ содержит окрестность нуля вида $V_{\delta,i_1,\ldots,i_n}$, где $\delta = \varepsilon - \max_{1\leq k \leq n}p_{i_k}(x)$. Тогда, используя конструкцию с параллельным переносом, и с учетом того, что

demolishka в сообщении #1032159 писал(а):

$\forall \alpha, \beta \exists \gamma : V_\alpha \cap V_\beta \supset V_\gamma$.

получаем, что семейство окрестностей $\{V_\alpha + x\}$ есть база некоторой топологии. Свойства ТВП легко проверяются.
Аналогичные рассуждения распространяются и на тот случай, когда задаем слабую топологию, и на случай, когда задаем топологию в пространстве основных функций.

В Шефере есть много различных условий на то, чтобы система окрестностей являлась системой окрестностей в некоторой топологии. Но они все в настолько общих терминах, что мне лень было разбираться.