Численное дифференцирование непериодической функции

[ewert]

Someone в сообщении #1040223 писал(а):

Но если нужны количественные оценки погрешности, то с самого начала вместо $o(h^2)$ нужно писать остаточный член в соответствующей форме.

Не нужно по двум причинам. С одной стороны, это некоторая морока и обычно ничего хорошего не получается. С другой стороны, для практических целей нужен вовсе не явный вид остаточного члена, а лишь тот факт, что погрешность имеет соответствующую асимптотику относительно $h$. Ну так она и имеет.

Кстати, именно по этой причине тейлоровский подход -- не более чем бантик к интерполяционному. Практически полезной информации он почти не даёт, а мороки больше.

Someone в сообщении #1040223 писал(а):

Если гладкость функции недостаточная, погрешность формулы растёт.

А это уже другой вопрос. Поскольку здесь разговор идёт о численном дифференцировании, то базовой является такая теорема: если гладкость достаточна (если существует и ограничена $f^{(n+1)}$), то погрешность оценивается как $O(h^{n+1-l})$. И есть два дополнения к ней:

1) для симметричных формул при соответствующих дополнительных условиях порядок точности оказывается на единицу выше (естественно, если есть соответствующий запас гладкости);

2) если гладкости не хватает (есть лишь $f^{(m)}$), то порядок точности соответственно снижается (до всего лишь $O(h^{m-l})$).

Так вот, наиболее важна именно базовая теорема (она, кстати, и доказывается не просто, а очень просто, в отличие от остального). Ибо это -- случай общего положения. Нужно знать и первое дополнение. А вот что касается второго -- достаточно лишь помнить о его существовании, чтобы быть готовым к возможным неприятностям.

И по тем же соображениям полезно помнить (не более того) о существовании дополнения к первому дополнению: для некоторых функций в некоторых точках фактическая точность может оказаться ещё выше.

[ewert]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1040233 писал(а):

Практически полезной информации он почти не даёт

Пардон, очипятка. Имелось в виду, естественно, что практически полезной дополнительной информации он почти не даёт