2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Численное дифференцирование непериодической функции
Сообщение22.07.2015, 19:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/10/06
371
РФ, РК, г.Симферополь
Здравствуйте!
Дана функция одной переменной.
Как известно, формула для вычисления производной функции на равномерной сетке по двум соседним точкам обладает весьма большой погрешностью:
$y'\left( {x_0 } \right) = \frac{{y\left( {x_1 } \right) - y\left( {x_0 } \right)}}{{\Delta x}}$
Если организуется какой-то итерационный процесс, внутри которого приходится вычислять производные, то лучше (с целью обеспечения сходимости) пользоваться другими формулами, например:
$y'\left( {x_1 } \right) = \frac{{y\left( {x_2 } \right) - y\left( {x_0 } \right)}}{{2\Delta x}}$
или т.н. первой формулой Рунге:
$y'\left( {x_2 } \right) = \frac{4}{3}\frac{{y\left( {x_3 } \right) - y\left( {x_1 } \right)}}{{2\Delta x}} - \frac{1}{3}\frac{{y\left( {x_4 } \right) - y\left( {x_0 } \right)}}{{4\Delta x}}$
Но эти формулы напрямую не позволяют вычислять производные в крайних узлах сетки.
Если процесс периодический (допустим переменная, по которой берётся производная - это время), то проблема при вычислении производной в крайних узлах отпадает.
Если процесс непериодический, то в крайних узлах можно вычислять производные по двум соседним точкам, а в остальных узлах - по более точным формулам. Но как показывает опыт, этот способ неэффективен.
Посоветуйте, как лучше решить эту проблему

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование непериодической функции
Сообщение23.07.2015, 10:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4775
Нов-ск
Fgolm в сообщении #1039552 писал(а):
Если процесс непериодический, то в крайних узлах можно вычислять производные по двум соседним точкам, а в остальных узлах - по более точным формулам. Но как показывает опыт, этот способ неэффективен.
Посоветуйте, как лучше решить эту проблему
В крайних узлах можно вычислять производные по 3 соседним точкам. По 4 соседним точкам. Все точнее и точнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование непериодической функции
Сообщение23.07.2015, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/10/06
371
РФ, РК, г.Симферополь
TOTAL в сообщении #1039723 писал(а):
В крайних узлах можно вычислять производные по 3 соседним точкам. По 4 соседним точкам. Все точнее и точнее.

Тогда производная вычисленная в крайнем узле будет равна производной, вычисленной в соседнем узле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование непериодической функции
Сообщение23.07.2015, 21:58 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
Fgolm в сообщении #1039934 писал(а):
Тогда производная вычисленная в крайнем узле будет равна производной, вычисленной в соседнем узле.

Не будет.

Нет вообще никаких "формул Рунге" -- есть лишь тупо результаты дифференцирования интерполяционного многочлена с последующей подстановкой. Чем больше брать узлов интерполирования, тем выше точность и выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование непериодической функции
Сообщение24.07.2015, 10:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/10/06
371
РФ, РК, г.Симферополь
Пусть имеется $n + 1$ узлов.
Вычислим производную в узле под номером 1 по трём точкам:
$y'_1  = \frac{{y_2  - y_0 }}{{2\Delta x}}$
Как будет выглядеть производная в узле под номером 0, если значение в узле -1 неизвестно, поскольку функция непериодическая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование непериодической функции
Сообщение24.07.2015, 10:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2673
Уфа
Интерполируйте (или, если известно, что функция с погрешностью, аппроксимируйте) Вашу функцию сплайном третьей степени, например. И от него берите производную, хоть вторую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование непериодической функции
Сообщение24.07.2015, 11:48 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
Fgolm в сообщении #1040060 писал(а):
Как будет выглядеть производная в узле под номером 0,

$y'_0 = \frac{{-y_2+4y_1 - 3y_0 }}{{2\Delta x}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование непериодической функции
Сообщение24.07.2015, 11:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/10/06
371
РФ, РК, г.Симферополь
ewert, поясните

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование непериодической функции
Сообщение24.07.2015, 12:45 
Аватара пользователя


11/08/11
1054
$y_0=y_0, y_1=y_0+y`_0 \Delta +0.5 y``_0 \Delta ^2, y_2=y_0+2 y`_0 \Delta +2 y``__0  \Delta ^2$. Будем искать производную в нуле в виде линейной комбинации $y`_0=c_0 y_0+ c_1 y_1+ c_2 y_2$. Дальше подсказки требуются?

Метод обобщается на приближения более высокой точности, с большим количеством точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование непериодической функции
Сообщение24.07.2015, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16903
Москва
Fgolm в сообщении #1039552 писал(а):
Если процесс непериодический, то в крайних узлах можно вычислять производные по двум соседним точкам, а в остальных узлах - по более точным формулам. Но как показывает опыт, этот способ неэффективен.
Посоветуйте, как лучше решить эту проблему
Собственно, один совет Вам уже дали: построить интерполяционный полином и дифференцировать его. Единственное, к чему надо относиться осторожно — это к увеличению числа узлов. Вот пример с интерполяцией функции $f(x)=\frac 1{1+100x^2}$ на отрезке $[0;2]$ по 11 точкам (с шагом $0{,}2$) полиномом 10 степени
Вложение:
Poly10.gif
Poly10.gif [ 4.39 Кб | Просмотров: 888 ]

и по 21 точке (с шагом $0{,}1$) полиномом 20 степени
Вложение:
Poly20.gif
Poly20.gif [ 4.48 Кб | Просмотров: 888 ]

Сверху — графики функции и интерполяционного многочлена (на отрезке $[1{,}5;2]$), снизу — графики их производных.
Наглядно видно, что вблизи правого конца отрезка с увеличением числа узлов погрешность интерполяции и самой функции, и её производной увеличилась, несмотря на двукратное уменьшение шага.

Другой совет тоже дали: использовать формулу Тейлора. Только лучше это сделать аккуратнее. Я буду писать $y_i$ вместо $f(x_i)$ и $h$ вместо $\Delta x$.
Пусть у нас есть три равноотстоящие точки $x_0,x_1,x_2$ с шагом $h$. Записывая формулу Тейлора в этих точках, получим $$f(x)=f(x_i)+\frac{f'(x_i)}{1!}(x-x_i)+\frac{f''(x_i)}{2!}(x-x_i)^2+o\left((x-x_i)^2\right),\quad i=0,1,2,$$ то есть, $$f(x)=y_i+y'_i(x-x_i)+\frac{y''_i}2(x-x_i)^2+o\left((x-x_i)^2\right),\quad i=0,1,2.$$
Далее, например, для $i=0$, подставляем $x=x_0,x_1,x_2$ и получаем систему равенств $$\begin{cases}y_0=y_0,\\y_1=y_0+y'_0h+\frac{y''_0}2h^2+o(h^2),\\y_2=y_0+2y'_0h+2y''_0h^2+o(h^2).\end{cases}$$ Первое равенство тривиальное, а из двух других нужно исключить $y''_0$. Для этого второе равенство умножаем на $4$ и вычитаем третье: $4y_1-y_2=3y_0+2y'_ih+o(h^2)$, откуда $$y'_0=\frac{-3y_0+4y_1-y_2}{2h}+o(h),$$ что согласуется с тем, что написал ewert.

Аналогично получаются формулы для $y'_1$ и $y'_2$, а также формулы при большем числе точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование непериодической функции
Сообщение24.07.2015, 15:06 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
Fgolm в сообщении #1040096 писал(а):
ewert, поясните

Смысл? Откройте же наконец любую книжку по численным методам.

Someone в сообщении #1040144 писал(а):
$$y'_0=\frac{-3y_0+4y_1-y_2}{2h}+o(h),$$

Запись плохая: надо не $o(h)$, а $O(h^2)$. Поскольку речь не об анализе, а о вычислительной математике -- разница довольно принципиальна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование непериодической функции
Сообщение24.07.2015, 16:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/10/06
371
РФ, РК, г.Симферополь
Someone, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование непериодической функции
Сообщение24.07.2015, 18:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16903
Москва
ewert в сообщении #1040148 писал(а):
Запись плохая: надо не $o(h)$, а $O(h^2)$.
Если функция имеет непрерывную третью производную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование непериодической функции
Сообщение24.07.2015, 18:16 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
Someone в сообщении #1040204 писал(а):
Если функция имеет непрерывную третью производную.

Достаточно ограниченности, но не в этом дело. Это в анализе достаточно абы каких оценок -- лишь бы давали качественный результат. Здесь же результаты нужны количественные, потому и оценки требуются квалифицированные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифференцирование непериодической функции
Сообщение24.07.2015, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16903
Москва
ewert в сообщении #1040207 писал(а):
Достаточно ограниченности
Да.

ewert в сообщении #1040207 писал(а):
Здесь же результаты нужны количественные, потому и оценки требуются квалифицированные.
Если гладкость функции недостаточная, погрешность формулы растёт. В том числе и вместо $O(h^2)$ легко может получиться $o(h)$. А если и второй производной нет, то ещё хуже. А я не помню, чтобы гладкость функции где-то в теме указывалась.

Но если нужны количественные оценки погрешности, то с самого начала вместо $o(h^2)$ нужно писать остаточный член в соответствующей форме. Или получать оценки каким-то другим способом.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group