Три замечательные точки треугольника на одной прямой

[Edward_Tur]

Доказать, что в разностороннем треугольнике точки $K$,$U$,$U_1$ лежат на одной прямой, где:
$K$ – точка Лемуана – точка сечения прямых, которые проходят через вершины треугольника и делят противоположные стороны пропорционально квадратам длин близлежащих сторон;
$U$,$U_1$ - изогонические центры определяются так:
На сторонах треугольника $\Delta ABC$ внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники $\Delta ABC_1$ , $\Delta AB_1C$ и$\Delta A_1BC$. Прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $U$ ($U_1$) ($U$ - точка Торричелли).

[Edward_Tur]

Задача оказалась известной - вот её обобщение и красивое решение - http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=169837

[Dimoniada]

Все подобные задачи, как оказалось, имеют один(!) способ решения. А именно, применение трилинейных (реже барицентрических) координат =*( Так что, для открытий в этой области осталось мало "места" =*(