Иррациональное уравнение с параметром

[Turtur]

Всем привет! Заступорился на такой задаче:

Цитата:

Найдите корни уравнения для каждого значения параметра a:$\sqrt{-x^3+(a-1)x^2+(a-1)x+a}=2x^2+3x+2-a$

.
Нашёл одз правой части: $2x^2+3x+2\geqslant a$ и левой: $(a-1)x^2+(a-1)x+a\geqslant x^3$;
Тогда исходное уравнение равносильно: $4x^4+13x^3+(18-5a)x^2+(13-7a)x+(a-2)^2=0$, что хорошо "складывается" в возвратное уравнение относительно $x$: $4x^4+13x^3+18x^2+13x+4=5ax^2+7ax+(5a-a^2)$, т.е. $4(x+\frac{1}{x})^2+13(x+\frac{1}{x})+10=5ax^2+7ax+(5a-a^2)$.
Ну и вот. А дальше не знаю, что делать. По одз ограничения не могу однозначно определить, что кубическая парабола, что квадратичная зависят от $x$. А решение уравнения 4 степени я никак не могу упростить, чтобы хоть как-то решить, кроме как "сложить" в возвратное.
Подтолкните к решению, пожалуйста.

[ewert]

Разложите левую часть на множители (там корень легко угадывается). После этого станет ясно, что делать и с правой частью.

[Someone]

Turtur в сообщении #1039741 писал(а):

Нашёл одз правой части: $2x^2+3x+2\geqslant a$

Это не ОДЗ, а условие неотрицательности, вытекающее из того факта, что левая часть в своей ОДЗ неотрицательна.

Turtur в сообщении #1039741 писал(а):

левой: $(a-1)x^2+(a-1)x+a\geqslant x^3$

А это совсем не нужно. Возведя обе части в квадрат, увидим, что все корни полученного уравнения автоматически этому неравенству удовлетворяют.

Turtur в сообщении #1039741 писал(а):

$4(x+\frac{1}{x})^2+13(x+\frac{1}{x})+10=5ax^2+7ax+(5a-a^2)$.

А кто будет правую часть делить на $x^2$? (Я не хочу сказать, что этот путь является удачным. Я просто обращаю ваше внимание на ошибку.)

Turtur в сообщении #1039741 писал(а):

Подтолкните к решению, пожалуйста.

ewert уже подтолкнул.

[greg1982]

Под корнем будет $(a-x)(x^2+x+1)$

Правую часть можно так: $2(x^2+x+1)-(a-x)$