Оценки частичных сумм экспоненциального ряда

[amarsianin]

Lia: откорректированная постановка задачи из стартового поста находится здесь: post1040082.html#p1040082

Предистория этого вопроса несколько длинновата, поэтому перейду сразу к сути: я хочу (хотел, но застрял) показать, что частичные суммы экспоненциального ряда строго возрастают, начиная с определённого числа членов.

А именно, рассмотрим ряд:

$$\sum_{k=0}^{n} \frac{p^k}{k!},$$

где $n$ натуральное, а $p$ рациональное (для простоты).

Известна следующая оценка:

$$ \Bigg| \sum_{k=0}^{n} \frac{p^k}{k!} - \sum_{k=0}^{m} \frac{p^k}{k!} \Bigg| \leq 2 \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!}, m \geq n, p \in \mathbb{Q}, |p| \leq 1 + \frac{n}{2} $$

Нужно показать, начиная с какого числа членов, разница в частичных суммах для двух рациональных $p$ и $q, q>p$ будет не меньше заданного малого числа. На самом деле, достаточно рассмотреть равное число членов ряда. Тогда требуется найти такие натуральные $n$ и $h$, что для любых рациональных $p$ и $q, q>p$ выполняется неравенство:

$$ \sum_{k=1}^{n} \frac{q^k - p^k}{k!} - \frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!} > \frac{1}{h} $$

Здесь я взял (предположительно) большую сумму, отнял половину оценки, данной выше, потом отнял вторую сумму МИНУС её половину оценки на остаточные члены.

Интересует как максимум выражение для $n$ и $h$, зависящие от $p$ и $q$ и как минимум алгоритм с оценкой числа шагов и гарантированной остановкой. То есть, алгоритм типа: увеличиваем $n$ по одному, пока выражение слева в неравенстве не станет строго больше нуля (читай, больше некоторого малого $\frac{1}{h}$) не подходит. Доказательство существования таких $n$ и $h$ тоже не интересует - я его сам знаю. Т. е. методы матанализа не привествуются.

Не обессудбьте, надеюсь, я ясно выразил задачу. Мне, кстати, особо интересно, можно ли показать, что задача неразрешима.

С уважением

[mihaild]

Т.е. Вам нужно доказать, что с ростом $p$ растет $\sum\limits_{k=0}^n \frac{p^k}{k!}$ для всех достаточно больших $k$?

[Brukvalub]

amarsianin в сообщении #1039628 писал(а):

Тогда требуется найти такие натуральные $n$ и $h$, что для любых рациональных $p$ и $q, q>p$ выполняется неравенство:

$$ \sum_{k=1}^{n} \frac{q^k - p^k}{k!} - \frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!} > \frac{1}{h} $$

Рациональные числа расположены всюду плотно, поэтому такая оценка невозможна из соображений непрерывности.

mihaild в сообщении #1039667 писал(а):

Т.е. Вам нужно доказать, что с ростом $p$ растет $\sum\limits_{k=0}^n \frac{p^k}{k!}$ для всех достаточно больших $k$?

Хочу отметить, что от параметра $k$ сумма ваще совсем ни чуть-чуть не зависит...

[amarsianin]

Цитата:

Рациональные числа расположены всюду плотно, поэтому такая оценка невозможна из соображений непрерывности.

А пояснить можно, каким образом эта оценка невозможна и как это следует из непрерывности? Если на то пошло, то бесконечный экспоненциальный ряд - это ряд Тейлора экспоненты, которая, как известно, строго возрастает. Стало быть, для любых $p,q,p<q$ как минимум существует $r,p<r<q$ такое, что $\exp{p}<\exp{r}<\exp{q}$, т. е. всегда найдётся такое $\varepsilon>0$, что $\exp{q}-\exp{p}>\varepsilon$. Но это, опять же, я бы хотел это показать без привлечения рядов Тейлора.

[Brukvalub]

amarsianin в сообщении #1039731 писал(а):

А пояснить можно, каким образом эта оценка невозможна и как это следует из непрерывности?

Вы ищете оценку с универсальной константой в правой части неравенства, в то время как левая часть этого неравенства стремится к нулю при сближении рациональных аргументов, поэтому оценка невозможна.

[grizzly]

amarsianin в сообщении #1039628 писал(а):

$$ \sum_{k=1}^{n} \frac{q^k - p^k}{k!} - \frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!} > \frac{1}{h} $$

Правильно ли я понимаю, что при фиксированном $n$ и при $p\to q$ левая часть неравенства стремится к отрицательной величине:

$$ - 2\frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!}, $$

в то время как положительная правая часть строго отделена от нуля?

[Brukvalub]

Благодарюgrizzly, который учел мою невнимательность и описал правильное поведение предполагаемой оценки при сближении аргументов.

[amarsianin]

Требуется при любых $p,q,p<q$ решить неравенство для $n, h$:

$$ \sum_{k=1}^{n} \frac{q^k - p^k}{k!} - \frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!} > \frac{1}{h} $$

Поэтому я имел ввиду выражение для $n, h$, зависящие от $p,q,p<q$ . Надеюсь, так понятнее.

grizzly, думаю, Вы неправильно понимаете. При сближении аргументов p и q и левая и правая части просто стремятся к нулю. Но меня даже не особо интересует именно ассимптотическое поведение. Я знаю, что между двумя любыми РАЗЛИЧНЫМИ аргументами p и q есть другой аргумент такой, что строгое неравенство выполняется.

-- 23.07.2015, 11:51 --

К тому же некорректно рассматривать сближение p и q при фиксированном n. В этом суть задачи, что n зависит от p и q.

[grizzly]

amarsianin в сообщении #1039800 писал(а):

grizzly, думаю, Вы неправильно понимаете.

Да нет, всё я понимаю. И вижу теперь, что Вы меня (нас) тоже правильно поняли.

(Оффтоп)

Если у Вас есть желание заинтересовать других своим сообщением, нужно стремиться быть корректным в каждом утверждении -- тем более в ключевом вопросе. Да, это бывает сложно -- все это понимают. Но большинство не станет глубоко вчитываться в контекст видя некорректность (догадайтесь, почему) -- а пройдут мимо или зададут вопрос. Дальше всё зависит от того, как Вы на этот вопрос ответите.

[mihaild]

Brukvalub в сообщении #1039672 писал(а):

mihaild в сообщении #1039667

писал(а):
Т.е. Вам нужно доказать, что с ростом $p$ растет $\sum\limits_{k=0}^n \frac{p^k}{k!}$ для всех достаточно больших $k$?
Хочу отметить, что от параметра $k$ сумма ваще совсем ни чуть-чуть не зависит...

Да, при достаточно больших $n$...

amarsianin в сообщении #1039800 писал(а):

Требуется при любых $p,q,p<q$ решить неравенство для $n, h$:

$$ \sum_{k=1}^{n} \frac{q^k - p^k}{k!} - \frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!} > \frac{1}{h} $$

Решить, или найти какое-нибудь решение? (первое вроде бы сложнее)

[amarsianin]

grizzly, да думаю, мы уже все друг друга поняли. И это хорошо.

mihaild, найти какое-нибудь решение или алгоритм с гарантированным остановом.

-- 23.07.2015, 12:13 --

Цитата:

Если у Вас есть желание заинтересовать других своим сообщением, нужно стремиться быть корректным в каждом утверждении -- тем более в ключевом вопросе. Да, это бывает сложно -- все это понимают. Но большинство не станет глубоко вчитываться в контекст видя некорректность (догадайтесь, почему) -- а пройдут мимо или зададут вопрос. Дальше всё зависит от того, как Вы на этот вопрос ответите.

Нет, не догадываюсь. Но если Вы мне укажете, буду очень признателен.

[mihaild]

amarsianin в сообщении #1039812 писал(а):

mihaild, найти какое-нибудь решение или алгоритм с гарантированным остановом.

Попробуйте найти какое-нибудь решение более сильного неравенства $q - p - \frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!} > \frac{1}{h} $

[amarsianin]

mihaild в сообщении #1039877 писал(а):

amarsianin в сообщении #1039812 писал(а):

mihaild, найти какое-нибудь решение или алгоритм с гарантированным остановом.

Попробуйте найти какое-нибудь решение более сильного неравенства $q - p - \frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!} > \frac{1}{h} $

То есть Вы предлагаете "обрубить" ряд до одного члена? Я бы с удовольствием, но это не допустимо всилу хотя бы условия $|p| \leq 1 + \frac{n}{2}$. Иначе оценки на последующие частичные суммы не действительны.

[mihaild]

amarsianin в сообщении #1039879 писал(а):

То есть Вы предлагаете "обрубить" ряд до одного члена? Я бы с удовольствием, но это не допустимо всилу хотя бы условия $|p| \leq 1 + \frac{n}{2}$. Иначе оценки на последующие частичные суммы не действительны.

Из $q - p - \frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!} > \frac{1}{h} $ и $q > p$ следует $\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{q^k - p^k}{k!} - \frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!} > \frac{1}{h}$.

[amarsianin]

mihaild в сообщении #1039974 писал(а):

amarsianin в сообщении #1039879 писал(а):

То есть Вы предлагаете "обрубить" ряд до одного члена? Я бы с удовольствием, но это не допустимо всилу хотя бы условия $|p| \leq 1 + \frac{n}{2}$. Иначе оценки на последующие частичные суммы не действительны.

Из $q - p - \frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!} > \frac{1}{h} $ и $q > p$ следует $\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{q^k - p^k}{k!} - \frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!} > \frac{1}{h}$.

Это каким образом?