Счетное множество

[RonHabard]

Хотелось бы проверить терминологическую корректность приведенных ниже определений.

1) Пусть между двумя непустыми множествами X и Y существует биекция X на Y. Тогда эти множества являются равномощными (или эквивалентными). Очевидно, что введенное отношение равномощности является отношением эквивалентности. В таком случае справедлива запись $X \sim Y$.

2) Всякое бесконечное множество X счетно, если оно равномощно множеству $\mathbb{N}$ натуральных чисел. То есть, если существует биекция $\mathbb{N}$ на X.

3) Всякое непустое множество X не более чем счетно, если оно конечно или счетно. То есть, если существует инъекция X в $\mathbb{N}$, или, если существует сюръекция $\mathbb{N}$ на X при $X \ne \emptyset$.

[Oleg Zubelevich]

3) ни куда не годится

-- Ср июл 22, 2015 21:24:18 --

RonHabard в сообщении #1039611 писал(а):

если существует инъекция $\mathbb{N}$ в X

такая инъекция существует для $X=\mathbb{R}$

-- Ср июл 22, 2015 21:25:20 --

RonHabard в сообщении #1039611 писал(а):

если существует сюръекция X на $\mathbb{N}$

тоже самое, такая сюръекция существует и для $X=\mathbb{R}$

[RonHabard]

Oleg Zubelevich, то есть утверждение, что для $\left| X \right| \le \aleph_0$ инъекция X в N или сюръекция N на X, при $X \ne \varnothing$ является необходимым и достаточным условием, неверно?

[provincialka]

RonHabard в сообщении #1039611 писал(а):

если существует инъекция $\mathbb{N}$ в X

RonHabard в сообщении #1039619 писал(а):

инъекция X в N

Сравните!

[Oleg Zubelevich]

а ему, похоже, до лампочки, что так, что этак

[RonHabard]

provincialka, непростительная опечатка . Спасибо за исправление.

Если первые три правильны, тогда еще небольшой вопрос:
Верно ли утверждение, что отношение эквивалентности является лишь необходимым, но не достаточным условием равномощности; ровно, как и для любого взаимно однозначного отображения? Или это утверждение -- чушь?

[provincialka]

RonHabard в сообщении #1039626 писал(а):

Спасибо за исправление.

А в какую сторону верно?

RonHabard в сообщении #1039626 писал(а):

Верно ли утверждение, что отношение эквивалентности является лишь необходимым, но не достаточным условием равномощности; ровно, как и для любого взаимно однозначного отображения?

Вообще непонятно! Отношение эквивалентности -- это достаточно общее понятие. Мало ли какие отношения эквивалентности бывают! И вобще, как отношение может быть условием чего-то? Это же не утверждение, а объект! Все равно что сказать "прямоугольник является необходимым условием..."

[RonHabard]

provincialka в сообщении #1039629 писал(а):

А в какую сторону верно?

RonHabard в сообщении #1039611 писал(а):

если существует инъекция X в $\mathbb{N}$, или, если существует сюръекция $\mathbb{N}$ на X при $X \ne \emptyset$.

Но не наоборот! Для обратного случая множество должно быть континуально.

-- 22.07.2015, 23:16 --

provincialka в сообщении #1039629 писал(а):

Вообще непонятно!

Ну, я так и понял, что чушь. Просто я подумал, что если биективность есть прямое следствие равномощности, то и, следовательно, эквивалентности тоже. Но подумал о достаточности, ведь отношение эквивалентности существует не только исходя из биекции.

[provincialka]

RonHabard в сообщении #1039631 писал(а):

Ну, я так и понял, что чушь.

А я не поняла, что чушь. Я вообще не поняла. У вас путаются "разноуровненвые" понятия. Отношение эквивалентности -- это, вообще говоря, не конкретное отношение, а тип отношений (любое рефлексивное, симметричное транзитивное отношение является эквивалентностью. И их существует весьма много).

Биекция -- это отношение между двумя множествами (то есть между их элементами). А равномощность -- отношение на "множестве множеств" (не всех, конечно! ). То есть множества являются в этом случае элементами, между которыми может быть или не быть равномощность.

[RonHabard]

provincialka, главное я разобрался . Большое спасибо!

-- 22.07.2015, 23:28 --

И пока не забыл, контрольный вопрос: почему множество вещественных числе несчетно, но множество вещественных алгебраических чисел, отнюдь, счетно?

[provincialka]

RonHabard в сообщении #1039637 писал(а):

почему множество вещественных числе несчетно, но множество вещественных алгебраических чисел, отнюдь, счетно?

А почему нет? Если бы подмножество счетного было несчетно -- вот это было бы удивительно!

[RonHabard]

provincialka, да я бы это доказать как-нибудь хотел бы. Просто в голове не укладывается... Есть идея рассмотреть мощность всех полиномов степени m с целыми коэффициентами.

А вот еще пока в голове не укладывается два следующих утверждения:
Объединение счетных множеств счетно. То есть счетное множество всегда разбивается на не более чем счетные множества. Но при этом множество всех подмножеств счётного множества континуально. Это из теоремы Кантора вытекает?

[Dan B-Yallay]

RonHabard в сообщении #1039643 писал(а):

Есть идея рассмотреть мощность всех полиномов степени m с целыми коэффициентами.

Правильной дорогой идете, товарищ.

RonHabard в сообщении #1039643 писал(а):

А вот еще пока в голове не укладывается два следующих утверждения:
Объединение счетных множеств счетно. То есть счетное множество всегда разбивается на не более чем счетные множества. Но при этом множество всех подмножеств счётного множества континуально. Это из теоремы Кантора вытекает?

А где 2 вопроса?

[provincialka]

RonHabard в сообщении #1039643 писал(а):

Объединение счетных множеств счетно.

Хм... Смотря в каком количестве их брать! Вы, наверное, имели в виду "счетного числа счетных множеств"?

RonHabard в сообщении #1039643 писал(а):

То есть счетное множество всегда разбивается на не более чем счетные множества.

А как это высказывание связано с предыдущим? И зачем его вообще "разбивать"?

[RonHabard]

Я правильно полагаю, сказать, что некоторое множество X счетно, на самом деле сказать, что оно допускает по крайней мере одну биекцию на $\mathbb{N}$? То есть это не значит, что такая биекция задана. Это лишь означает, что возможно расположить элементы данного множества в последовательность $x_1,x_2,…,x_n,…$ так, что различные элементы получат различные номера, хотя сама эта последовательность еще не задана, однако задана может быть определенно. Обратно, если элементы X можно расположить таким способом, то множество X счетно. То есть существует критерий счестности множеств. Верно я все понимаю? Просто тему никто и никак мне не объяснял, все на самообразовании и скудных лекциях знакомой одногруппницы.