2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти рациональные точки на кривой кардиоиде
Сообщение22.07.2015, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Найти рациональные точки на кардиоде.

Изображение

Уравнение кардиоды. /Джон Стиллвелл. "Математика и её история". сТР.44/

$$\[
\left( {x^2  + y^2  - 1} \right)^2  - 4\left( {x - 1} \right)^2  - 4y^2  = 0
\]
$


p.s.
Ссылка на Стиллвелла весьма существенна, так как русская Вики и многие другие русские источники дают другое уравнение кардиоды
$\[
\left( {x^2  + y^2  + 2x} \right)^2  - 4\left( {x^2  + y^2 } \right)=0
\]$
"Может я чего-нибудь не понял", но приведённое ими там же параметрическое представление кардиоды (точно такое же, как и у Джона Стиллвелла), как показывает PARI/GP, не удовлетворяет приведённому уравнению, в отличии от Джона Стиллвелла. У него удовлетворяет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные точки на кривой кардиоде
Сообщение22.07.2015, 19:42 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Совершенно формально.
$x=\dfrac{t^4+6t^2-3}{(t^2+1)^2},y=\dfrac{8t}{(t^2+1)^2}$, где $t$- рациональный параметр.

Для второго уравнения так же формально
$x=\dfrac{4t^3-8t^2+4t}{(t^2+1)^2},y=\dfrac{2t^4-4t^3+4t-2}{(t^2+1)^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные точки на кривой кардиоде
Сообщение22.07.2015, 21:11 


21/07/15
31
На кардиоде Стиллвелла есть даже точки c точными десятеричными координатами:

Код:
  x        y
-3         0
-0.92    2.56
1          2
1.48     0.64
1.32     0.24
1.0768  0.0224 

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные точки на кривой кардиоде
Сообщение22.07.2015, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва

(Оффтоп)

КардиоИда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные точки на кривой кардиоде
Сообщение22.07.2015, 22:23 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Коровьев в сообщении #1039525 писал(а):
Ссылка на Стиллвелла весьма существенна, так как русская Вики и многие другие русские источники дают другое уравнение кардиоды
$\[
\left( {x^2  + y^2  + 2x} \right)^2  - 4\left( {x^2  + y^2 } \right)=0
\]$


Просто уравнение приведённое в русской Википедии является частным случаем уравнения улитки Паскаля и является в этом частном случае также уравнением кардиоиды. Авторам статьи в Википедии следовало бы и параметрические уравнения привести для улитки Паскаля. Тогда бы они удовлетворяли приведённому уравнению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные точки на кривой кардиоиде
Сообщение22.07.2015, 23:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Приношу свои извинения Кардиоиде, за неумышленное, а по незнанию коверкование её имени. :facepalm:
В заголовке исправил, в тексте не стал.

Shtorm в сообщении #1039634 писал(а):
Авторам статьи в Википедии следовало бы и параметрические уравнения привести для улитки Паскаля. Тогда бы они удовлетворяли приведённому уравнению.

Несомненно следовало бы привести и нужные параметрические выражения.
Я, встретившись с этой непоняткой, порылся в сети и нашёл в некоторых рефератах точно те же формулы. Копи-паст работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные точки на кривой кардиоде
Сообщение23.07.2015, 00:19 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Для такого уравнения кардиоиды
$$\[\left( {x^2  + y^2  + 2x} \right)^2  - 4\left( {x^2  + y^2 } \right)=0\]$$
будут следующие параметрические уравнения:
$$\begin{cases}
x=-2\cos^2(t)+2\cos(t)\\
y=-2\sin(t)\cos(t)+2\sin(t)
\end{cases}$$
Смотрите например Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные точки на кривой кардиоиде
Сообщение23.07.2015, 02:12 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Коровьев в сообщении #1039525 писал(а):
....но приведённое ими там же параметрическое представление кардиоды (точно такое же, как и у Джона Стиллвелла), как показывает PARI/GP, не удовлетворяет приведённому уравнению,...

Коровьев, всё таки меня что-то в этом деле беспокоило и я начал разбираться. Ещё раз посмотрел Википедию, увидел, что для статьи они применяли уважаемую мной книгу Савёлов А.А. "Плоские кривые". Заглянул туда и увидел, что авторы с Википедии списали всё один в один с Савёлова в плане уравнений кардиоиды, но без подробных комментариев. И конечно, читатель Википедии видя перед собой обычное уравнение и параметрические уравнения, думает, что они равносильны и достаточно подставить одно в другое и всё будет окей! А вот тут-то и кроется ошибка: написанные параметрические уравнения написаны в предположении, что начало декартовой системы координат в центре чёрной окружности (см. анимацию), а вот полярное уравнение кардиоиды уже выведено для случая, если полюс совпадает c точкой возврата на кардиоиде. А уже из полярного уравнения получено обычное уравнение и конечно начало декартовой системы совпадает с полюсом. Поэтому и параметрические уравнения и обычное уравнения верны, но не равнозначны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные точки на кривой кардиоиде
Сообщение24.07.2015, 23:03 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Вариации на стартовую тему.
Рассмотрим уравнение $(x^2+y^2-1)^2-4(x-1)^2-4y^2=z^2\qquad(1)$ и $z\ne{0}$.
(При $z=0$ имеем стартовое уравнение и рациональные решения для него написаны в моем первом сообщении).
Докажем, что
1. $(1)$ имеет бесконечно много рациональных решений $(x,y,z)$.
2. $z$ сколь угодно мало может отличаться от нуля.
Док-во. Пусть $p,q$ - рациональные числа такие, что $p^2{q^2}+2q+2p-1=0\qquad(2)$.
Уравнение $(2)$ с помощью замены $p=\dfrac{-36+18w}{(3u-1)^2},q=\dfrac{9u^2+3u-36w-74}{2(3u+2)^2}$
приводится к эквивалентному уравнению $w^2=u^3-u/3+110/27\qquad(3)$. Это уравнение эллиптической кривой
в форме Вейерштрасса. Ранг кривой равен 1 (Pari/gp).
Сл-но, на ней бесконечно много рациональных точек. Сл-но бесконечно много рациональных решений
$(p,q)$ имеет уравнение $(2)$.
Положим $x=p+q+1,y=1-pq,z=q^2-p^2$, тогда $x,y,z$ удовлетворяют $(1)$. Пункт 1. доказан.
Утверждение пункта 2. следует теперь из теоремы Пуанкаре-Гурвица о плотности рациональных точек на связной компоненте эллиптической кривой, несущей на себе точку бесконечного порядка.
Интересующие нас рациональные точки $(u,w)$, обеспечивающие близость $z$ к нулю, будут находиться в окрестности точки кривой $(3)$ с координатами
$u_0=\dfrac{(27\sqrt{2}+36)\sqrt{2^{3/2}-1}+33\sqrt{2}+49}{3}$
$w_0=(49\sqrt{2}+69)\sqrt{2^{5/2}-2}+93\sqrt{2}+132$
Соответствующие рациональные точки на кривой $(2)$ находятся в окрестности точки с координатами
$p_0=\dfrac{\sqrt{2^{5/2}-2}}{2}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$q_0=\dfrac{\sqrt{2^{5/2}-2}}{2}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти рациональные точки на кривой кардиоиде
Сообщение26.07.2015, 01:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Ну что ж, благодаря обеспокоенности Shtorm по поводу Википедии, за что ему большое спасибо, всё стало нам (но не другим читателям Википедии) ясно.

Теперь приведу своё решение исходной задачи.
Итак, имеем уравнение кардиоиды:

$$\left( {x^2  + y^2  - 1} \right)^2  = 4\left( {x - 1} \right)^2  + 4y^2 $

и её параметрические уравнения, которые при подстановки их в исходное уравнение, обращают его тождественно в нуль:

$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 x = 2\cos \alpha  - \cos 2\alpha  \\ 
 y = 2\sin \alpha  - \sin 2\alpha  \\ 
 \end{array} \right.
\]$

Заменяя косинусы и синусы их диофантовыми аналогами (См. тему Диофантовые уравнения и тригонометрия.)

$$\[
\cos \alpha  \to C\left( t \right) = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }}
\]$

$$\[
\cos 2\alpha  \to C\left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right) = \frac{{1 - \left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right)^2 }}{{1 + \left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right)^2 }}
\]$

$$\[
\sin \alpha  \to S\left( t \right) = \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}
\]$

$$\[
\sin 2\alpha  \to S\left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right) = \frac{{2\left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right)}}{{1 + \left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right)^2 }}
\]$

сразу получаем параметрическое решение

$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 x = 2C\left( t \right) - C\left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right) \\ 
 y = 2S\left( t \right) - S\left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right) \\ 
 \end{array} \right.
\]$
Проверено PARI

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group