Найти рациональные точки на кривой кардиоиде

[Коровьев]

Найти рациональные точки на кардиоде.



Уравнение кардиоды. /Джон Стиллвелл. "Математика и её история". сТР.44/

$$\[ \left( {x^2 + y^2 - 1} \right)^2 - 4\left( {x - 1} \right)^2 - 4y^2 = 0 \] $


p.s.
Ссылка на Стиллвелла весьма существенна, так как русская Вики и многие другие русские источники дают другое уравнение кардиоды
$\[ \left( {x^2 + y^2 + 2x} \right)^2 - 4\left( {x^2 + y^2 } \right)=0 \]$
"Может я чего-нибудь не понял", но приведённое ими там же параметрическое представление кардиоды (точно такое же, как и у Джона Стиллвелла), как показывает PARI/GP, не удовлетворяет приведённому уравнению, в отличии от Джона Стиллвелла. У него удовлетворяет.

[scwec]

Совершенно формально.
$x=\dfrac{t^4+6t^2-3}{(t^2+1)^2},y=\dfrac{8t}{(t^2+1)^2}$, где $t$- рациональный параметр.

Для второго уравнения так же формально
$x=\dfrac{4t^3-8t^2+4t}{(t^2+1)^2},y=\dfrac{2t^4-4t^3+4t-2}{(t^2+1)^2}$

[greg1982]

На кардиоде Стиллвелла есть даже точки c точными десятеричными координатами:

  x        y
-3         0
-0.92    2.56
1          2
1.48     0.64
1.32     0.24
1.0768  0.0224  

[ex-math]

(Оффтоп)

КардиоИда.

[Shtorm]

Коровьев в сообщении #1039525 писал(а):

Ссылка на Стиллвелла весьма существенна, так как русская Вики и многие другие русские источники дают другое уравнение кардиоды
$\[ \left( {x^2 + y^2 + 2x} \right)^2 - 4\left( {x^2 + y^2 } \right)=0 \]$

Просто уравнение приведённое в русской Википедии является частным случаем уравнения улитки Паскаля и является в этом частном случае также уравнением кардиоиды. Авторам статьи в Википедии следовало бы и параметрические уравнения привести для улитки Паскаля. Тогда бы они удовлетворяли приведённому уравнению.

[Коровьев]

Приношу свои извинения Кардиоиде, за неумышленное, а по незнанию коверкование её имени.
В заголовке исправил, в тексте не стал.

Shtorm в сообщении #1039634 писал(а):

Авторам статьи в Википедии следовало бы и параметрические уравнения привести для улитки Паскаля. Тогда бы они удовлетворяли приведённому уравнению.

Несомненно следовало бы привести и нужные параметрические выражения.
Я, встретившись с этой непоняткой, порылся в сети и нашёл в некоторых рефератах точно те же формулы. Копи-паст работает.

[Shtorm]

Для такого уравнения кардиоиды

$$\[\left( {x^2 + y^2 + 2x} \right)^2 - 4\left( {x^2 + y^2 } \right)=0\]$$

будут следующие параметрические уравнения:

$$\begin{cases} x=-2\cos^2(t)+2\cos(t)\\ y=-2\sin(t)\cos(t)+2\sin(t) \end{cases}$$

Смотрите например Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике

[Shtorm]

Коровьев в сообщении #1039525 писал(а):

....но приведённое ими там же параметрическое представление кардиоды (точно такое же, как и у Джона Стиллвелла), как показывает PARI/GP, не удовлетворяет приведённому уравнению,...

Коровьев, всё таки меня что-то в этом деле беспокоило и я начал разбираться. Ещё раз посмотрел Википедию, увидел, что для статьи они применяли уважаемую мной книгу Савёлов А.А. "Плоские кривые". Заглянул туда и увидел, что авторы с Википедии списали всё один в один с Савёлова в плане уравнений кардиоиды, но без подробных комментариев. И конечно, читатель Википедии видя перед собой обычное уравнение и параметрические уравнения, думает, что они равносильны и достаточно подставить одно в другое и всё будет окей! А вот тут-то и кроется ошибка: написанные параметрические уравнения написаны в предположении, что начало декартовой системы координат в центре чёрной окружности (см. анимацию), а вот полярное уравнение кардиоиды уже выведено для случая, если полюс совпадает c точкой возврата на кардиоиде. А уже из полярного уравнения получено обычное уравнение и конечно начало декартовой системы совпадает с полюсом. Поэтому и параметрические уравнения и обычное уравнения верны, но не равнозначны.

[scwec]

Вариации на стартовую тему.
Рассмотрим уравнение $(x^2+y^2-1)^2-4(x-1)^2-4y^2=z^2\qquad(1)$ и $z\ne{0}$.
(При $z=0$ имеем стартовое уравнение и рациональные решения для него написаны в моем первом сообщении).
Докажем, что
1. $(1)$ имеет бесконечно много рациональных решений $(x,y,z)$.
2. $z$ сколь угодно мало может отличаться от нуля.
Док-во. Пусть $p,q$ - рациональные числа такие, что $p^2{q^2}+2q+2p-1=0\qquad(2)$.
Уравнение $(2)$ с помощью замены $p=\dfrac{-36+18w}{(3u-1)^2},q=\dfrac{9u^2+3u-36w-74}{2(3u+2)^2}$
приводится к эквивалентному уравнению $w^2=u^3-u/3+110/27\qquad(3)$. Это уравнение эллиптической кривой
в форме Вейерштрасса. Ранг кривой равен 1 (Pari/gp).
Сл-но, на ней бесконечно много рациональных точек. Сл-но бесконечно много рациональных решений
$(p,q)$ имеет уравнение $(2)$.
Положим $x=p+q+1,y=1-pq,z=q^2-p^2$, тогда $x,y,z$ удовлетворяют $(1)$. Пункт 1. доказан.
Утверждение пункта 2. следует теперь из теоремы Пуанкаре-Гурвица о плотности рациональных точек на связной компоненте эллиптической кривой, несущей на себе точку бесконечного порядка.
Интересующие нас рациональные точки $(u,w)$, обеспечивающие близость $z$ к нулю, будут находиться в окрестности точки кривой $(3)$ с координатами
$u_0=\dfrac{(27\sqrt{2}+36)\sqrt{2^{3/2}-1}+33\sqrt{2}+49}{3}$
$w_0=(49\sqrt{2}+69)\sqrt{2^{5/2}-2}+93\sqrt{2}+132$
Соответствующие рациональные точки на кривой $(2)$ находятся в окрестности точки с координатами
$p_0=\dfrac{\sqrt{2^{5/2}-2}}{2}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$q_0=\dfrac{\sqrt{2^{5/2}-2}}{2}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

[Коровьев]

Ну что ж, благодаря обеспокоенности Shtorm по поводу Википедии, за что ему большое спасибо, всё стало нам (но не другим читателям Википедии) ясно.

Теперь приведу своё решение исходной задачи.
Итак, имеем уравнение кардиоиды:

$$\left( {x^2 + y^2 - 1} \right)^2 = 4\left( {x - 1} \right)^2 + 4y^2 $

и её параметрические уравнения, которые при подстановки их в исходное уравнение, обращают его тождественно в нуль:

$\[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2\cos \alpha - \cos 2\alpha \\ y = 2\sin \alpha - \sin 2\alpha \\ \end{array} \right. \]$

Заменяя косинусы и синусы их диофантовыми аналогами (См. тему Диофантовые уравнения и тригонометрия.)

$$\[ \cos \alpha \to C\left( t \right) = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }} \]$

$$\[ \cos 2\alpha \to C\left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right) = \frac{{1 - \left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right)^2 }}{{1 + \left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right)^2 }} \]$

$$\[ \sin \alpha \to S\left( t \right) = \frac{{2t}}{{1 + t^2 }} \]$

$$\[ \sin 2\alpha \to S\left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right) = \frac{{2\left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right)}}{{1 + \left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right)^2 }} \]$

сразу получаем параметрическое решение

$\[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2C\left( t \right) - C\left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right) \\ y = 2S\left( t \right) - S\left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right) \\ \end{array} \right. \]$
Проверено PARI