Релятивистские эффекты первого и второго порядка

[Taro]

Друзья, очень часто встречается: "Релятивистские Эффекты первого и второго порядка".
Что это? Я так думаю:
если без корней пишется

$$\boxed{\ x = \frac 1 {1- \frac v c }}$$

- то первый, а если так:

$$\boxed{\ x = \frac 1 \sqrt{1- (\frac v c )^2}}$$

- то второй.
Правильно ли я понимаю?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

Сообщение выделено в отдельную тему, после исправления оно будет перемещено в раздел ПРР(Ф).

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[rustot]

Допустим вы пытались реку перпендикулярно течению переплыть, а вас снесло течением - это эффект первого порядка. Если скорость течения в 10 раз меньше вашей скорости относительно воды, то снесет вас на расстояние 1/10 от ширины реки

Вы сделали поправку, загребали под углом и у вас получилось переплыть реку перпендикулярно берегу. Но времени на это ушло на примерно на 1/200 больше чем в прошлый раз. Это увеличение времени (уменьшение скорости относительно берега) - эффект второго порядка, уже не десятки процентов а единицы.

То есть эффекты, относительное влияние которых одного порядка с $v/c$ (не обязательно ровно $v/c$) это эффекты первого порядка, а одного порядка с $v^2/c^2$ - эффекты второго порядка. Деление это имеет смысл когда $v/c$ близко к нулю, а если это скажем 0.5, то эффекты эти уже примерно одного порядка

[Munin]

Читать:
- ряд Тейлора;
- нерелятивистскую физику.

Есть релятивистские формулы, похожие на нерелятивистские. Например, есть какая-то $f_\mathrm{nonrel},$ и в релятивистском случае ей соответствует $f_\mathrm{rel}.$ Между ними есть разница, зависящая от скорости, так что в пределе $v/c\to 0$ эта разница исчезает, а вот в области $v/c\sim 1$ обычно сильно увеличивается. При малых скоростях, можно рассмотреть эту разницу как бесконечно малую в пределе $v/c\to 0.$ И тогда, можно рассмотреть её порядок. Поскольку большинство лабораторных релятивистских экспериментов с макроскопическими телами происходит с малой скоростью (максимум порядка единиц километров в секунду), этот порядок важен, чтобы определить нужную чувствительность эксперимента.

Но надо знать: существует много других экспериментов. Есть эксперименты с микрочастицами - в них достигаются очень высокие околосветовые скорости, например, отличающиеся от скорости света в десятом знаке. Есть наблюдения быстродвижущихся макроскопических объектов - в астрономии.

[Taro]

Благодарью Вас, господин Мунин, и Извиняюсь за повторный вопрос: а вышеказанных (мною) формул, и связанные с ними эффектов можно ли так и называть: "эффекты первого порядка", "эффекты второго порядка"

[мат-ламер]

Taro
По поводу вашей первой формулы в рамочке. Вы бы не могли привести пример её использования? По поводу вашей второй формулы в рамочке. Давайте рассмотрим конкретный пример. Как зависит полная энергия тела от её массы и скорости? Попробуем получить выражение для кинетической энергии в рамках первого и второго приближения. Для начала разберитесь, как приближённо вычислять корень для чисел близких к единице.

[Munin]

Taro в сообщении #1039668 писал(а):

Извиняюсь за повторный вопрос: а вышеказанных (мною) формул, и связанные с ними эффектов можно ли так и называть: "эффекты первого порядка", "эффекты второго порядка"

Нет. Я повторяю: читайте про ряды Тейлора в учебнике матанализа за первый курс.

Записываем ваши функции в виде рядов Тейлора:

$$x=\dfrac{1}{1-\tfrac{v}{c}}=1+\tfrac{v}{c}+\bigl(\tfrac{v}{c}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{v}{c}\bigr)^3+\ldots+\bigl(\tfrac{v}{c}\bigr)^n+\ldots$$

и вот теперь можно говорить о члене нулевого порядка, первого порядка, второго порядка и так далее. Вот, например, подчеркнём члены до первого порядка включительно:

$$x=\dfrac{1}{1-\tfrac{v}{c}}=\underline{1+\tfrac{v}{c}}+o\bigl(\tfrac{v}{c}\bigr)\approx 1+\tfrac{v}{c}.$$

Теперь в каком-то эксперименте можно измерять величину $x$ с разной точностью, и если скорость движения, скажем, 3 километра в секунду, то чтобы заметить отличие $x$ от $1,$ необходимо поставить эксперимент с точностью $10^{-5}$ (это довольно трудно! попробуйте, например, измерить длину вашей комнаты с точностью хотя бы $10^{-3}$).

Теперь ваша вторая формула:

$$x=\dfrac{1}{\sqrt{1-\bigl(\tfrac{v}{c}\bigr)^2}}=1+\tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{v}{c}\bigr)^2+\tfrac{3}{8}\bigl(\tfrac{v}{c}\bigr)^4+\tfrac{5}{16}\bigl(\tfrac{v}{c}\bigr)^6+\ldots+\tfrac{(2k-1)!!}{2^k\cdot k!}\bigl(\tfrac{v}{c}\bigr)^{2k}+\ldots$$

Здесь видно, что член первого порядка равен нулю. То есть, если взять приближение с точностью до членов первого порядка, то величину нельзя будет отличить от 1! Чтобы заметить отличие, потребуется взять приближение до членов второго порядка включительно:

$$x=\dfrac{1}{\sqrt{1-\bigl(\tfrac{v}{c}\bigr)^2}}=\underline{1+\tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{v}{c}\bigr)^2}+o\bigl(\bigl(\tfrac{v}{c}\bigr)^2\bigr)\approx 1+\tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{v}{c}\bigr)^2.$$

Если у вас в эксперименте скорость движения 3 километра в секунду, и вы проводите эксперимент с точностью $10^{-5},$ то вы ничего не заметите! Вам потребуется ставить эксперимент так, чтобы измерять величины с точностью $10^{-10}.$ Подумайте, как вообще это можно сделать! Это очень сложные экспериментальные техники и методики, использующие самые лучшие и современные достижения. И то, такие измерения зачастую невозможны, и возможны только в некоторых редких условиях и стечениях обстоятельств.

[Walker_XXI]

Taro в сообщении #1039668 писал(а):

а вышеказанных (мною) формул, и связанные с ними эффектов можно ли так и называть: "эффекты первого порядка", "эффекты второго порядка"

Назвать-то можно, но будет это не совсем грамотно. Разложите оба выражения в ряд Тейлора по степеням ${v}/{c}$ в окрестности $0$. Порядок эффекта определяется наименьшей степенью параметра $\dfrac{v}{c}$, присутствующей в разложении. Например, если у Вас получится, что слагаемого с $\dfrac{v}{c}$ нет, а всё разложение начинается с $\left (\dfrac{v}{c}\right )^2$, то эффект действительно второго порядка.

[Munin]

Например, рассмотрим функцию без корней:

$$x=\dfrac{1}{1-\bigl(\tfrac{v}{c}\bigr)^2}=1+\bigl(\tfrac{v}{c}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{v}{c}\bigr)^4+\bigl(\tfrac{v}{c}\bigr)^6+\ldots+\bigl(\tfrac{v}{c}\bigr)^{2k}+\ldots$$

У неё тоже нет члена первого порядка, а под ваше "правило про корни" она не подпадает.

Зато есть другое правило: если функция чётная, то в её разложении нет членов нечётного порядка, в том числе первого.